Theorem isacs4lem 17168

Description: In a closure system in which directed unions of closed sets are closed, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	|- F = (mrCls ` C )

Assertion

Ref	Expression
isacs4lem	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. t e. ~P ~P X ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, s, t   F, s, t   X, s, t

Proof of Theorem isacs4lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
2		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( t e. ~P ~P X -> t C_ ~P X )
3	2	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> t C_ ~P X )
4		acsdrscl.f	. . . . . . . 8 |- F = (mrCls ` C )
5	4	mrcuni 16281	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ t C_ ~P X ) -> ( F ` U. t ) = ( F ` U. ( F " t ) ) )
6	1, 3, 5	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> ( F ` U. t ) = ( F ` U. ( F " t ) ) )
7	4	mrcf 16269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F : ~P X --> C )
8	7	ffnd 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F Fn ~P X )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> F Fn ~P X )
10		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) /\ ( x C_ y /\ y C_ X ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
11		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) /\ ( x C_ y /\ y C_ X ) ) -> x C_ y )
12		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) /\ ( x C_ y /\ y C_ X ) ) -> y C_ X )
13	10, 4, 11, 12	mrcssd 16284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) /\ ( x C_ y /\ y C_ X ) ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) )
14		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> (toInc ` t ) e. Dirset )
15	2	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> t C_ ~P X )
16		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mrCls ` C ) e. _V
17	4, 16	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. _V
18	17	imaex 7104	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " t ) e. _V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> ( F " t ) e. _V )
20	9, 13, 14, 15, 19	ipodrsima 17165	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> (toInc ` ( F " t ) ) e. Dirset )
21	20	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> (toInc ` ( F " t ) ) e. Dirset )
22		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " t ) C_ ran F
23		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ~P X --> C -> ran F C_ C )
24	7, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ran F C_ C )
25	22, 24	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( F " t ) C_ C )
26	18	elpw 4164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " t ) e. ~P C <-> ( F " t ) C_ C )
27	25, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( F " t ) e. ~P C )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> ( F " t ) e. ~P C )
29		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( F " t ) -> (toInc ` s ) = (toInc ` ( F " t ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( F " t ) -> ( (toInc ` s ) e. Dirset <-> (toInc ` ( F " t ) ) e. Dirset ) )
32		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( F " t ) -> U. s = U. ( F " t ) )
33	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( F " t ) -> ( U. s e. C <-> U. ( F " t ) e. C ) )
34	31, 33	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( F " t ) -> ( ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) <-> ( (toInc ` ( F " t ) ) e. Dirset -> U. ( F " t ) e. C ) ) )
35	34	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F " t ) e. ~P C /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) -> ( (toInc ` ( F " t ) ) e. Dirset -> U. ( F " t ) e. C ) )
36	28, 29, 35	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> ( (toInc ` ( F " t ) ) e. Dirset -> U. ( F " t ) e. C ) )
37	21, 36	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> U. ( F " t ) e. C )
38	4	mrcid 16273	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ U. ( F " t ) e. C ) -> ( F ` U. ( F " t ) ) = U. ( F " t ) )
39	1, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> ( F ` U. ( F " t ) ) = U. ( F " t ) )
40	6, 39	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) /\ ( t e. ~P ~P X /\ (toInc ` t ) e. Dirset ) ) -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) )
41	40	exp32 631	. . . 4 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) -> ( t e. ~P ~P X -> ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) ) )
42	41	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) -> A. t e. ~P ~P X ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) )
43	42	ex 450	. 2 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) -> A. t e. ~P ~P X ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) ) )
44	43	imdistani 726	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P C ( (toInc ` s ) e. Dirset -> U. s e. C ) ) -> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. t e. ~P ~P X ( (toInc ` t ) e. Dirset -> ( F ` U. t ) = U. ( F " t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  Dirsetcdrs 16927  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  acsdrscl  17170  acsficl  17171  isacs5  17172  isacs4  17173  isacs3  17174