Theorem acunirnmpt2f 29461

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
aciunf1lem.a	|- F/_ j A
acunirnmpt2f.c	|- F/_ j C
acunirnmpt2f.d	|- F/_ j D
acunirnmpt2f.2	|- C = U_ j e. A B
acunirnmpt2f.3	|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
acunirnmpt2f.4	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt2f	|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   B, f   C, f, x   f, j, ph, x

Allowed substitution hints:   A( j)   B( x, j)   C( j)   D( x, f, j)   V( x, f, j)   W( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2f

Dummy variables c y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
2		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5372	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
6	1, 5	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
7		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
8		acunirnmpt2f.c	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j C
9	8	nfcri 2758	. . . . . . . . 9 |- F/ j x e. C
10	7, 9	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ x e. C )
11		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j y
12		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j ( j e. A |-> B )
13	12	nfrn 5368	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ran ( j e. A |-> B )
14	11, 13	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
15	10, 14	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
16		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j x e. y
17	15, 16	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
18		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
19		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
20	18, 19	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
21	20	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) )
22	21	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
23	17, 22	reximdai 3012	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
24	6, 23	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
25		acunirnmpt2f.2	. . . . . . . 8 |- C = U_ j e. A B
26		acunirnmpt2f.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. W )
28		dfiun3g 5378	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. A B e. W -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ j e. A B = U. ran ( j e. A |-> B ) )
30	25, 29	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> C = U. ran ( j e. A |-> B ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) ) )
32	31	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
33		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
34	32, 33	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
35	24, 34	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
36	35	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
37		acunirnmpt.0	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
38		aciunf1lem.a	. . . . . . 7 |- F/_ j A
39		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k A
40		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k B
41		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ k / j ]_ B
42		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( j = k -> B = [_ k / j ]_ B )
43	38, 39, 40, 41, 42	cbvmptf 4748	. . . . . 6 |- ( j e. A |-> B ) = ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B )
44		mptexg 6484	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( k e. A |-> [_ k / j ]_ B ) e. _V )
45	43, 44	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
46		rnexg 7098	. . . . 5 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
47		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
48	37, 45, 46, 47	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
49	30, 48	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
50		id 22	. . . . . 6 |- ( c = C -> c = C )
51	50	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) )
52	50	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) )
53	50	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) )
54	52, 53	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
55	54	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
56	51, 55	imbi12d 334	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) )
57		acunirnmpt2f.d	. . . . . 6 |- F/_ j D
58	57	nfcri 2758	. . . . 5 |- F/ j x e. D
59		vex 3203	. . . . 5 |- c e. _V
60		acunirnmpt2f.3	. . . . . 6 |- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
61	60	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
62	38, 58, 59, 61	ac6sf2 29429	. . . 4 |- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) )
63	56, 62	vtoclg 3266	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
64	49, 63	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
65	36, 64	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-en 7956  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  aciunf1lem  29462