Theorem cantnfle 8568

Description: A lower bound on the CNF function. Since ( ( A CNF B ) ` F ) is defined as the sum of ( A ^o x ) .o ( F ` x ) over all x in the support of F, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all C e. B instead of just those C in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
cantnfcl.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cantnfcl.f	|- ( ph -> F e. S )
cantnfval.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
cantnfle.c	|- ( ph -> C e. B )

Assertion

Ref	Expression
cantnfle	|- ( ph -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( ( A CNF B ) ` F ) )

Distinct variable groups:   z, k, B   z, C   A, k, z   k, F, z   S, k, z   k, G, z   ph, k, z

Allowed substitution hints:   C( k)   H( z, k)

Proof of Theorem cantnfle

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . 3 |- ( ( F ` C ) = (/) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) = ( ( A ^o C ) .o (/) ) )
2	1	sseq1d 3632	. 2 |- ( ( F ` C ) = (/) -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( ( A CNF B ) ` F ) <-> ( ( A ^o C ) .o (/) ) C_ ( ( A CNF B ) ` F ) ) )
3		cantnfs.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. On )
4		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
5		cantnfcl.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. S )
6		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = dom ( A CNF B )
7		cantnfs.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. On )
8	6, 7, 3	cantnfs 8563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) ) )
9	5, 8	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : B --> A /\ F finSupp (/) ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : B --> A )
11		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : B --> A -> dom F = B )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = B )
13	4, 12	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ B )
14	3, 13	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
15		cantnfcl.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
16	6, 7, 3, 15, 5	cantnfcl 8564	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
18	15	oiiso 8442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
19	14, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
20		isof1o 6573	. . . . . . . 8 |- ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) )
22	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) )
23		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) -> `' G : ( F supp (/) ) -1-1-onto-> dom G )
24		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( `' G : ( F supp (/) ) -1-1-onto-> dom G -> `' G : ( F supp (/) ) --> dom G )
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> `' G : ( F supp (/) ) --> dom G )
26		cantnfle.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. B )
27	26	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( C e. B /\ ( F ` C ) =/= (/) ) )
28	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> F : B --> A )
29		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : B --> A -> F Fn B )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> F Fn B )
31	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> B e. On )
32		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> (/) e. _V )
34		elsuppfn 7303	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn B /\ B e. On /\ (/) e. _V ) -> ( C e. ( F supp (/) ) <-> ( C e. B /\ ( F ` C ) =/= (/) ) ) )
35	30, 31, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( C e. ( F supp (/) ) <-> ( C e. B /\ ( F ` C ) =/= (/) ) ) )
36	27, 35	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> C e. ( F supp (/) ) )
37	25, 36	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( `' G ` C ) e. dom G )
38	16	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> dom G e. om )
39	38	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> dom G e. om )
40		eqimss 3657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = dom G -> x C_ dom G )
41	40	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( x = dom G -> ( ( `' G ` C ) e. x <-> ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) ) )
42		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = dom G -> ( ( `' G ` C ) e. x <-> ( `' G ` C ) e. dom G ) )
43	41, 42	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( x = dom G -> ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) <-> ( `' G ` C ) e. dom G ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = dom G -> ( H ` x ) = ( H ` dom G ) )
45	44	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( x = dom G -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) <-> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` dom G ) ) )
46	43, 45	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = dom G -> ( ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) ) <-> ( ( `' G ` C ) e. dom G -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` dom G ) ) ) )
47	46	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = dom G -> ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( `' G ` C ) e. dom G -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` dom G ) ) ) ) )
48		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x C_ dom G <-> (/) C_ dom G ) )
49		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( `' G ` C ) e. x <-> ( `' G ` C ) e. (/) ) )
50	48, 49	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) <-> ( (/) C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. (/) ) ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( H ` x ) = ( H ` (/) ) )
52	51	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) <-> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` (/) ) ) )
53	50, 52	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) ) <-> ( ( (/) C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. (/) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` (/) ) ) ) )
54		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x C_ dom G <-> y C_ dom G ) )
55		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( `' G ` C ) e. x <-> ( `' G ` C ) e. y ) )
56	54, 55	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) <-> ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( H ` x ) = ( H ` y ) )
58	57	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) <-> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) )
59	56, 58	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) ) <-> ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) ) )
60		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( x C_ dom G <-> suc y C_ dom G ) )
61		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( `' G ` C ) e. x <-> ( `' G ` C ) e. suc y ) )
62	60, 61	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) <-> ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. suc y ) ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( H ` x ) = ( H ` suc y ) )
64	63	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) <-> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) )
65	62, 64	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) ) <-> ( ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. suc y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
66		noel 3919	. . . . . . . . . 10 |- -. ( `' G ` C ) e. (/)
67	66	pm2.21i 116	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G ` C ) e. (/) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` (/) ) )
68	67	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. (/) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` (/) ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( (/) C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. (/) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` (/) ) ) )
70		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' G ` C ) e. _V
71	70	elsuc 5794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' G ` C ) e. suc y <-> ( ( `' G ` C ) e. y \/ ( `' G ` C ) = y ) )
72		sssucid 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y C_ suc y
73		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ suc y /\ suc y C_ dom G ) -> y C_ dom G )
74	72, 73	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc y C_ dom G -> y C_ dom G )
75	74	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) ) -> y C_ dom G )
76		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) ) -> ( `' G ` C ) e. y )
77		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) )
78	75, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) )
79		cantnfval.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
80	79	cantnfvalf 8562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- H : om --> On
81	80	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. om -> ( H ` y ) e. On )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( H ` y ) e. On )
83	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> A e. On )
84	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> B e. On )
85	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( F supp (/) ) C_ B )
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> suc y C_ dom G )
87		sucidg 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. om -> y e. suc y )
88	87	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> y e. suc y )
89	86, 88	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> y e. dom G )
90	15	oif 8435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
91	90	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. dom G -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
93	85, 92	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( G ` y ) e. B )
94		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( B e. On /\ ( G ` y ) e. B ) -> ( G ` y ) e. On )
95	84, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( G ` y ) e. On )
96		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( A ^o ( G ` y ) ) e. On )
97	83, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( A ^o ( G ` y ) ) e. On )
98	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> F : B --> A )
99	98, 93	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. A )
100		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. On /\ ( F ` ( G ` y ) ) e. A ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
101	83, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
102		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` y ) ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. On )
103	97, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. On )
104		oaword2 7633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( H ` y ) e. On /\ ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. On ) -> ( H ` y ) C_ ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
105	82, 103, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( H ` y ) C_ ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
106		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ph )
107		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> y e. om )
108	6, 7, 3, 15, 5, 79	cantnfsuc 8567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( H ` suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( H ` suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
110	105, 109	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( H ` y ) C_ ( H ` suc y ) )
111		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) /\ ( H ` y ) C_ ( H ` suc y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) )
112	111	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H ` y ) C_ ( H ` suc y ) -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) )
113	110, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) )
114	113	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) ) -> ( ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) )
115	78, 114	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) )
116	115	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( `' G ` C ) e. y -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
117		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( `' G ` C ) = y )
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( G ` ( `' G ` C ) ) = ( G ` y ) )
119		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) /\ C e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` ( `' G ` C ) ) = C )
120	22, 36, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( G ` ( `' G ` C ) ) = C )
121	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( G ` ( `' G ` C ) ) = C )
122	118, 121	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( G ` y ) = C )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( A ^o ( G ` y ) ) = ( A ^o C ) )
124	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) = ( F ` C ) )
125	123, 124	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) = ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) )
126		oaword1 7632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. On /\ ( H ` y ) e. On ) -> ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) C_ ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
127	103, 82, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) C_ ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
128	127	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) C_ ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
129	125, 128	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
130	109	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( H ` suc y ) = ( ( ( A ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) +o ( H ` y ) ) )
131	129, 130	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) = y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) )
132	131	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( `' G ` C ) = y -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) )
133	132	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( `' G ` C ) = y -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
134	116, 133	jaod 395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( ( `' G ` C ) e. y \/ ( `' G ` C ) = y ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
135	71, 134	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) /\ suc y C_ dom G ) -> ( ( `' G ` C ) e. suc y -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
136	135	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) -> ( ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. suc y ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
137	136	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. suc y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) )
138	137	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( ( y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` y ) ) -> ( ( suc y C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. suc y ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` suc y ) ) ) ) )
139	53, 59, 65, 69, 138	finds2 7094	. . . . . 6 |- ( x e. om -> ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( x C_ dom G /\ ( `' G ` C ) e. x ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` x ) ) ) )
140	47, 139	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( dom G e. om -> ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( `' G ` C ) e. dom G -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` dom G ) ) ) )
141	39, 140	mpcom 38	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( `' G ` C ) e. dom G -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` dom G ) ) )
142	37, 141	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( H ` dom G ) )
143	6, 7, 3, 15, 5, 79	cantnfval 8565	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( H ` dom G ) )
144	143	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( H ` dom G ) )
145	142, 144	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` C ) =/= (/) ) -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( ( A CNF B ) ` F ) )
146		onelon 5748	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ C e. B ) -> C e. On )
147	3, 26, 146	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> C e. On )
148		oecl 7617	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
149	7, 147, 148	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^o C ) e. On )
150		om0 7597	. . . 4 |- ( ( A ^o C ) e. On -> ( ( A ^o C ) .o (/) ) = (/) )
151	149, 150	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^o C ) .o (/) ) = (/) )
152		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ ( ( A CNF B ) ` F )
153	151, 152	syl6eqss 3655	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^o C ) .o (/) ) C_ ( ( A CNF B ) ` F ) )
154	2, 145, 153	pm2.61ne 2879	1 |- ( ph -> ( ( A ^o C ) .o ( F ` C ) ) C_ ( ( A CNF B ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   _E cep 5028   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cantnflem3  8588