Theorem cantnflem3 8588

Description: Lemma for cantnf 8590. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than C has a normal form, we can use oeeu 7683 to factor C into the form ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z where 0 < Y < A and Z < ( A ^o X ) (and a fortiori X < B). Then since Z < ( A ^o X ) <_ ( A ^o X ) .o Y <_ C, Z has a normal form, and by appending the term ( A ^o X ) .o Y using cantnfp1 8578 we get a normal form for C. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
cantnf.c	|- ( ph -> C e. ( A ^o B ) )
cantnf.s	|- ( ph -> C C_ ran ( A CNF B ) )
cantnf.e	|- ( ph -> (/) e. C )
cantnf.x	|- X = U. |^| { c e. On | C e. ( A ^o c ) }
cantnf.p	|- P = ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o X ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o X ) .o a ) +o b ) = C ) )
cantnf.y	|- Y = ( 1st ` P )
cantnf.z	|- Z = ( 2nd ` P )
cantnf.g	|- ( ph -> G e. S )
cantnf.v	|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` G ) = Z )
cantnf.f	|- F = ( t e. B |-> if ( t = X , Y , ( G ` t ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cantnflem3	|- ( ph -> C e. ran ( A CNF B ) )

Distinct variable groups:   t, c, w, x, y, z, B   a, b, c, d, w, x, y, z, C   t, a, A, b, c, d, w, x, y, z   T, c, t   w, F, x, y, z   S, c, t, x, y, z   t, Z, x, y, z   G, c, t, w, x, y, z   ph, t, x, y, z   t, Y, w, x, y, z   X, a, b, d, t, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( w, a, b, c, d)   B( a, b, d)   C( t)   P( x, y, z, w, t, a, b, c, d)   S( w, a, b, d)   T( x, y, z, w, a, b, d)   F( t, a, b, c, d)   G( a, b, d)   X( c)   Y( a, b, c, d)   Z( w, a, b, c, d)

Proof of Theorem cantnflem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . . . 5 |- S = dom ( A CNF B )
2		cantnfs.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. On )
3		cantnfs.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. On )
4		cantnf.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. S )
5		oemapval.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
6		cantnf.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. ( A ^o B ) )
7		cantnf.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C C_ ran ( A CNF B ) )
8		cantnf.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (/) e. C )
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	cantnflem2 8587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. ( On \ 2o ) /\ C e. ( On \ 1o ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- X = X
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = Y
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = Z
13	10, 11, 12	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X = X /\ Y = Y /\ Z = Z )
14		cantnf.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- X = U. |^| { c e. On | C e. ( A ^o c ) }
15		cantnf.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- P = ( iota d E. a e. On E. b e. ( A ^o X ) ( d = <. a , b >. /\ ( ( ( A ^o X ) .o a ) +o b ) = C ) )
16		cantnf.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = ( 1st ` P )
17		cantnf.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( 2nd ` P )
18	14, 15, 16, 17	oeeui 7682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ C e. ( On \ 1o ) ) -> ( ( ( X e. On /\ Y e. ( A \ 1o ) /\ Z e. ( A ^o X ) ) /\ ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) = C ) <-> ( X = X /\ Y = Y /\ Z = Z ) ) )
19	13, 18	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ C e. ( On \ 1o ) ) -> ( ( X e. On /\ Y e. ( A \ 1o ) /\ Z e. ( A ^o X ) ) /\ ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) = C ) )
20	9, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X e. On /\ Y e. ( A \ 1o ) /\ Z e. ( A ^o X ) ) /\ ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) = C ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X e. On /\ Y e. ( A \ 1o ) /\ Z e. ( A ^o X ) ) )
22	21	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. On )
23		oecl 7617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ X e. On ) -> ( A ^o X ) e. On )
24	2, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^o X ) e. On )
25	21	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( A \ 1o ) )
26	25	eldifad 3586	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. A )
27		onelon 5748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ Y e. A ) -> Y e. On )
28	2, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. On )
29		dif1o 7580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. ( A \ 1o ) <-> ( Y e. A /\ Y =/= (/) ) )
30	29	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. ( A \ 1o ) -> Y =/= (/) )
31	25, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y =/= (/) )
32		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. On -> ( (/) e. Y <-> Y =/= (/) ) )
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (/) e. Y <-> Y =/= (/) ) )
34	31, 33	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. Y )
35		omword1 7653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ^o X ) e. On /\ Y e. On ) /\ (/) e. Y ) -> ( A ^o X ) C_ ( ( A ^o X ) .o Y ) )
36	24, 28, 34, 35	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^o X ) C_ ( ( A ^o X ) .o Y ) )
37		omcl 7616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ Y e. On ) -> ( ( A ^o X ) .o Y ) e. On )
38	24, 28, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o Y ) e. On )
39	21	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. ( A ^o X ) )
40		onelon 5748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ Z e. ( A ^o X ) ) -> Z e. On )
41	24, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. On )
42		oaword1 7632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ^o X ) .o Y ) e. On /\ Z e. On ) -> ( ( A ^o X ) .o Y ) C_ ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) )
43	38, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o Y ) C_ ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) )
44	20	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) = C )
45	43, 44	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^o X ) .o Y ) C_ C )
46	36, 45	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^o X ) C_ C )
47		oecl 7617	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
48	2, 3, 47	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^o B ) e. On )
49		ontr2 5772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ ( A ^o B ) e. On ) -> ( ( ( A ^o X ) C_ C /\ C e. ( A ^o B ) ) -> ( A ^o X ) e. ( A ^o B ) ) )
50	24, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A ^o X ) C_ C /\ C e. ( A ^o B ) ) -> ( A ^o X ) e. ( A ^o B ) ) )
51	46, 6, 50	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^o X ) e. ( A ^o B ) )
52	9	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( On \ 2o ) )
53		oeord 7668	. . . . . . 7 |- ( ( X e. On /\ B e. On /\ A e. ( On \ 2o ) ) -> ( X e. B <-> ( A ^o X ) e. ( A ^o B ) ) )
54	22, 3, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. B <-> ( A ^o X ) e. ( A ^o B ) ) )
55	51, 54	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
56	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> A e. On )
57	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> B e. On )
58		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G supp (/) ) C_ dom G
59	1, 2, 3	cantnfs 8563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) ) )
60	4, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) )
61	60	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : B --> A )
62		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : B --> A -> dom G = B )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom G = B )
64	58, 63	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G supp (/) ) C_ B )
65	64	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> x e. B )
66		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
67	57, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> x e. On )
68		oecl 7617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
69	56, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( A ^o x ) e. On )
70	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> G : B --> A )
71	70, 65	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( G ` x ) e. A )
72		onelon 5748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( G ` x ) e. A ) -> ( G ` x ) e. On )
73	56, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( G ` x ) e. On )
74		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : B --> A -> G Fn B )
75	61, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G Fn B )
76		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) e. _V
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (/) e. _V )
78		elsuppfn 7303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Fn B /\ B e. On /\ (/) e. _V ) -> ( x e. ( G supp (/) ) <-> ( x e. B /\ ( G ` x ) =/= (/) ) ) )
79	75, 3, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( G supp (/) ) <-> ( x e. B /\ ( G ` x ) =/= (/) ) ) )
80	79	simplbda 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( G ` x ) =/= (/) )
81		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` x ) e. On -> ( (/) e. ( G ` x ) <-> ( G ` x ) =/= (/) ) )
82	73, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( (/) e. ( G ` x ) <-> ( G ` x ) =/= (/) ) )
83	80, 82	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> (/) e. ( G ` x ) )
84		omword1 7653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^o x ) e. On /\ ( G ` x ) e. On ) /\ (/) e. ( G ` x ) ) -> ( A ^o x ) C_ ( ( A ^o x ) .o ( G ` x ) ) )
85	69, 73, 83, 84	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( A ^o x ) C_ ( ( A ^o x ) .o ( G ` x ) ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) )
87	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> G e. S )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( G ` (OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o (OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) ) ` k ) ) .o ( G ` (OrdIso ( _E , ( G supp (/) ) ) ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
89	1, 56, 57, 86, 87, 88, 65	cantnfle 8568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( ( A ^o x ) .o ( G ` x ) ) C_ ( ( A CNF B ) ` G ) )
90		cantnf.v	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` G ) = Z )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( ( A CNF B ) ` G ) = Z )
92	89, 91	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( ( A ^o x ) .o ( G ` x ) ) C_ Z )
93	85, 92	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( A ^o x ) C_ Z )
94	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> Z e. ( A ^o X ) )
95	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( A ^o X ) e. On )
96		ontr2 5772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^o x ) e. On /\ ( A ^o X ) e. On ) -> ( ( ( A ^o x ) C_ Z /\ Z e. ( A ^o X ) ) -> ( A ^o x ) e. ( A ^o X ) ) )
97	69, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( ( ( A ^o x ) C_ Z /\ Z e. ( A ^o X ) ) -> ( A ^o x ) e. ( A ^o X ) ) )
98	93, 94, 97	mp2and 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( A ^o x ) e. ( A ^o X ) )
99	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> X e. On )
100	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> A e. ( On \ 2o ) )
101		oeord 7668	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ X e. On /\ A e. ( On \ 2o ) ) -> ( x e. X <-> ( A ^o x ) e. ( A ^o X ) ) )
102	67, 99, 100, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> ( x e. X <-> ( A ^o x ) e. ( A ^o X ) ) )
103	98, 102	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( G supp (/) ) ) -> x e. X )
104	103	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( G supp (/) ) -> x e. X ) )
105	104	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ph -> ( G supp (/) ) C_ X )
106		cantnf.f	. . . . 5 |- F = ( t e. B |-> if ( t = X , Y , ( G ` t ) ) )
107	1, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106	cantnfp1 8578	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. S /\ ( ( A CNF B ) ` F ) = ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o ( ( A CNF B ) ` G ) ) ) )
108	107	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o ( ( A CNF B ) ` G ) ) )
109	90	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o ( ( A CNF B ) ` G ) ) = ( ( ( A ^o X ) .o Y ) +o Z ) )
110	108, 109, 44	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = C )
111	1, 2, 3	cantnff 8571	. . . 4 |- ( ph -> ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) )
112		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( A CNF B ) : S --> ( A ^o B ) -> ( A CNF B ) Fn S )
113	111, 112	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( A CNF B ) Fn S )
114	107	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> F e. S )
115		fnfvelrn 6356	. . 3 |- ( ( ( A CNF B ) Fn S /\ F e. S ) -> ( ( A CNF B ) ` F ) e. ran ( A CNF B ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) e. ran ( A CNF B ) )
117	110, 116	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> C e. ran ( A CNF B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   iotacio 5849   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cantnflem4  8589