Theorem ccatco 13581

Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatco	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( F o. ( S ++ T ) ) = ( ( F o. S ) ++ ( F o. T ) ) )

Proof of Theorem ccatco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenco 13578	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( # ` ( F o. S ) ) = ( # ` S ) )
2	1	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( # ` ( F o. S ) ) = ( # ` S ) )
3		lenco 13578	. . . . . . 7 |- ( ( T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( # ` ( F o. T ) ) = ( # ` T ) )
4	3	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( # ` ( F o. T ) ) = ( # ` T ) )
5	2, 4	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( ( # ` ( F o. S ) ) + ( # ` ( F o. T ) ) ) = ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( 0..^ ( ( # ` ( F o. S ) ) + ( # ` ( F o. T ) ) ) ) = ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
7	6	mpteq1d 4738	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` ( F o. S ) ) + ( # ` ( F o. T ) ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) ) )
8	2	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) = ( 0..^ ( # ` S ) ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) = ( 0..^ ( # ` S ) ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) <-> x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) )
11	10	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) )
12		wrdf 13310	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
15		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A -> S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) )
17		fvco2 6273	. . . . . . . 8 |- ( ( S Fn ( 0..^ ( # ` S ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` x ) = ( F ` ( S ` x ) ) )
18	16, 17	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` x ) = ( F ` ( S ` x ) ) )
19		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) = ( F ` ( S ` x ) ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) = ( F ` ( S ` x ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` x ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
22		wrdf 13310	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. Word A -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> A )
23	22	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> A )
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> A )
25		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> A -> T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) )
27		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Word A -> ( # ` S ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. Word A -> ( # ` S ) e. ZZ )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( # ` S ) e. ZZ )
30		fzospliti 12500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ ( # ` S ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) )
31	30	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` S ) e. ZZ /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) )
32	29, 31	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) \/ x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) )
33	32	orcanai 952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
34		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. Word A -> ( # ` T ) e. NN0 )
35	34	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. Word A -> ( # ` T ) e. ZZ )
36	35	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( # ` T ) e. ZZ )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( # ` T ) e. ZZ )
38		fzosubel3 12528	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ ( # ` T ) e. ZZ ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) )
39	33, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) )
40		fvco2 6273	. . . . . . . 8 |- ( ( T Fn ( 0..^ ( # ` T ) ) /\ ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` S ) ) ) = ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) )
41	26, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` S ) ) ) = ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) )
42	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) = ( x - ( # ` S ) ) )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) = ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` S ) ) ) )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) = ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` S ) ) ) )
45		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) = ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) = ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) )
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
48	21, 47	ifeqda 4121	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
49	11, 48	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
50	49	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) ) )
51	7, 50	eqtr2d 2657	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` ( F o. S ) ) + ( # ` ( F o. T ) ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) ) )
52	14	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. A )
53	24, 39	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) e. A )
54	52, 53	ifclda 4120	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) e. A )
55		ccatfval 13358	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
56	55	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
57		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> F : A --> B )
58	57	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> F = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
59		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
60		fvif 6204	. . . 4 |- ( F ` if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) )
61	59, 60	syl6eq 2672	. . 3 |- ( y = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) -> ( F ` y ) = if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
62	54, 56, 58, 61	fmptco 6396	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( F o. ( S ++ T ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( F ` ( S ` x ) ) , ( F ` ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) ) )
63		ffun 6048	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> Fun F )
64	63	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> Fun F )
65		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> S e. Word A )
66		cofunexg 7130	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ S e. Word A ) -> ( F o. S ) e. _V )
67	64, 65, 66	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( F o. S ) e. _V )
68		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> T e. Word A )
69		cofunexg 7130	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ T e. Word A ) -> ( F o. T ) e. _V )
70	64, 68, 69	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( F o. T ) e. _V )
71		ccatfval 13358	. . 3 |- ( ( ( F o. S ) e. _V /\ ( F o. T ) e. _V ) -> ( ( F o. S ) ++ ( F o. T ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` ( F o. S ) ) + ( # ` ( F o. T ) ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) ) )
72	67, 70, 71	syl2anc 693	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( ( F o. S ) ++ ( F o. T ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` ( F o. S ) ) + ( # ` ( F o. T ) ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` ( F o. S ) ) ) , ( ( F o. S ) ` x ) , ( ( F o. T ) ` ( x - ( # ` ( F o. S ) ) ) ) ) ) )
73	51, 62, 72	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word A /\ F : A --> B ) -> ( F o. ( S ++ T ) ) = ( ( F o. S ) ++ ( F o. T ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  cats1co  13601  frmdgsum  17399  frmdup1  17401  efginvrel2  18140  frgpuplem  18185  frgpup1  18188  mrsubccat  31415