Theorem mrsubccat 31415

Description: Substitution distributes over concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	|- S = (mRSubst ` T )
mrsubccat.r	|- R = (mREx ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubccat	|- ( ( F e. ran S /\ X e. R /\ Y e. R ) -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) )

Proof of Theorem mrsubccat

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. . . . . 6 |- ( F e. ran S -> -. ran S = (/) )
2		mrsubccat.s	. . . . . . . . 9 |- S = (mRSubst ` T )
3		fvprc 6185	. . . . . . . . 9 |- ( -. T e. _V -> (mRSubst ` T ) = (/) )
4	2, 3	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( -. T e. _V -> S = (/) )
5	4	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( -. T e. _V -> ran S = ran (/) )
6		rn0 5377	. . . . . . 7 |- ran (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( -. T e. _V -> ran S = (/) )
8	1, 7	nsyl2 142	. . . . 5 |- ( F e. ran S -> T e. _V )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mVR ` T ) = (mVR ` T )
10		mrsubccat.r	. . . . . 6 |- R = (mREx ` T )
11	9, 10, 2	mrsubff 31409	. . . . 5 |- ( T e. _V -> S : ( R ^pm (mVR ` T ) ) --> ( R ^m R ) )
12		ffun 6048	. . . . 5 |- ( S : ( R ^pm (mVR ` T ) ) --> ( R ^m R ) -> Fun S )
13	8, 11, 12	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. ran S -> Fun S )
14	9, 10, 2	mrsubrn 31410	. . . . . 6 |- ran S = ( S " ( R ^m (mVR ` T ) ) )
15	14	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( F e. ran S <-> F e. ( S " ( R ^m (mVR ` T ) ) ) )
16	15	biimpi 206	. . . 4 |- ( F e. ran S -> F e. ( S " ( R ^m (mVR ` T ) ) ) )
17		fvelima 6248	. . . 4 |- ( ( Fun S /\ F e. ( S " ( R ^m (mVR ` T ) ) ) ) -> E. f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) ( S ` f ) = F )
18	13, 16, 17	syl2anc 693	. . 3 |- ( F e. ran S -> E. f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) ( S ` f ) = F )
19		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> X e. R )
20		elfvex 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. (mREx ` T ) -> T e. _V )
21	20, 10	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. R -> T e. _V )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mCN ` T ) = (mCN ` T )
23	22, 9, 10	mrexval 31398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. _V -> R = Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
24	19, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
25	19, 24	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> X e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
26		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
27	26, 24	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> Y e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
28		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) -> f : (mVR ` T ) --> R )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> f : (mVR ` T ) --> R )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> f : (mVR ` T ) --> R )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) /\ v e. (mVR ` T ) ) -> ( f ` v ) e. R )
32	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) /\ v e. (mVR ` T ) ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
33	31, 32	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) /\ v e. (mVR ` T ) ) -> ( f ` v ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) /\ -. v e. (mVR ` T ) ) -> v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
35	34	s1cld 13383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) /\ -. v e. (mVR ` T ) ) -> <" v "> e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
36	33, 35	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) = ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) -->Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
39		ccatco 13581	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ Y e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) -->Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. ( X ++ Y ) ) = ( ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ++ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) )
40	25, 27, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. ( X ++ Y ) ) = ( ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ++ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. ( X ++ Y ) ) ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ++ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
42		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- (mCN ` T ) e. _V
43		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- (mVR ` T ) e. _V
44	42, 43	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 |- ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) e. _V
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) = (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
46	45	frmdmnd 17396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) e. _V -> (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) e. Mnd )
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) e. Mnd )
48		wrdco 13577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) -->Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
49	25, 38, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
50		wrdco 13577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) -->Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
51	27, 38, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) = ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) )
53	45, 52	frmdbas 17389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) e. _V -> ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) = Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
54	44, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) = Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) )
55	54	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) = ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) = ( +g ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) )
57	55, 56	gsumccat 17378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) e. Mnd /\ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ++ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) = ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ( +g ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
58	47, 49, 51, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ++ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) = ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ( +g ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
59	55	gsumwcl 17377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) e. Mnd /\ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
60	47, 49, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
61	55	gsumwcl 17377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) e. Mnd /\ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
62	47, 51, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
63	45, 55, 56	frmdadd 17392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ( +g ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) = ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ++ ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
64	60, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ( +g ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) ) ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) = ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ++ ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
65	41, 58, 64	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. ( X ++ Y ) ) ) = ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ++ ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
66		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- (mVR ` T ) C_ (mVR ` T )
67	66	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> (mVR ` T ) C_ (mVR ` T ) )
68		ccatcl 13359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) /\ Y e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) -> ( X ++ Y ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
69	25, 27, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( X ++ Y ) e. Word ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) )
70	69, 24	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( X ++ Y ) e. R )
71	22, 9, 10, 2, 45	mrsubval 31406	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : (mVR ` T ) --> R /\ (mVR ` T ) C_ (mVR ` T ) /\ ( X ++ Y ) e. R ) -> ( ( S ` f ) ` ( X ++ Y ) ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. ( X ++ Y ) ) ) )
72	29, 67, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( S ` f ) ` ( X ++ Y ) ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. ( X ++ Y ) ) ) )
73	22, 9, 10, 2, 45	mrsubval 31406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : (mVR ` T ) --> R /\ (mVR ` T ) C_ (mVR ` T ) /\ X e. R ) -> ( ( S ` f ) ` X ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) )
74	29, 67, 19, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( S ` f ) ` X ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) )
75	22, 9, 10, 2, 45	mrsubval 31406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : (mVR ` T ) --> R /\ (mVR ` T ) C_ (mVR ` T ) /\ Y e. R ) -> ( ( S ` f ) ` Y ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) )
76	29, 67, 26, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( S ` f ) ` Y ) = ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) )
77	74, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( ( S ` f ) ` X ) ++ ( ( S ` f ) ` Y ) ) = ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. X ) ) ++ ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. (mVR ` T ) ) |-> if ( v e. (mVR ` T ) , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. Y ) ) ) )
78	65, 72, 77	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( S ` f ) ` ( X ++ Y ) ) = ( ( ( S ` f ) ` X ) ++ ( ( S ` f ) ` Y ) ) )
79		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( S ` f ) ` ( X ++ Y ) ) = ( F ` ( X ++ Y ) ) )
80		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( S ` f ) ` X ) = ( F ` X ) )
81		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( S ` f ) ` Y ) = ( F ` Y ) )
82	80, 81	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( ( S ` f ) ` X ) ++ ( ( S ` f ) ` Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) )
83	79, 82	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( ( S ` f ) ` ( X ++ Y ) ) = ( ( ( S ` f ) ` X ) ++ ( ( S ` f ) ` Y ) ) <-> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) ) )
84	78, 83	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) /\ ( X e. R /\ Y e. R ) ) -> ( ( S ` f ) = F -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) ) )
85	84	ex 450	. . . . 5 |- ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) -> ( ( X e. R /\ Y e. R ) -> ( ( S ` f ) = F -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) ) ) )
86	85	com23 86	. . . 4 |- ( f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) -> ( ( S ` f ) = F -> ( ( X e. R /\ Y e. R ) -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) ) ) )
87	86	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. f e. ( R ^m (mVR ` T ) ) ( S ` f ) = F -> ( ( X e. R /\ Y e. R ) -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) ) )
88	18, 87	syl 17	. 2 |- ( F e. ran S -> ( ( X e. R /\ Y e. R ) -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) ) )
89	88	3impib 1262	1 |- ( ( F e. ran S /\ X e. R /\ Y e. R ) -> ( F ` ( X ++ Y ) ) = ( ( F ` X ) ++ ( F ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  freeMndcfrmd 17384  mCNcmcn 31357  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  elmrsubrn  31417  mrsubco  31418  mrsubvrs  31419