Theorem wrdf 13310

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	|- ( W e. Word S -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> S )

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 13307	. 2 |- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
2		simpr 477	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> W : ( 0..^ l ) --> S )
3		fnfzo0hash 13234	. . . . . 6 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> ( # ` W ) = l )
4	3	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> ( 0..^ ( # ` W ) ) = ( 0..^ l ) )
5	4	feq2d 6031	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> S <-> W : ( 0..^ l ) --> S ) )
6	2, 5	mpbird 247	. . 3 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> S )
7	6	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> S )
8	1, 7	sylbi 207	1 |- ( W e. Word S -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   E.wrex 2913   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  iswrdb  13311  wrddm  13312  wrdsymbcl  13318  wrdfn  13319  wrdv  13320  wrdffz  13326  0wrd0  13331  wrdnval  13335  wrdred1  13349  wrdred1hash  13350  ccatcl  13359  ccatass  13371  ccatrn  13372  ccatalpha  13375  s1dm  13388  swrdcl  13419  swrd0val  13421  swrdf  13425  swrdnd2  13433  ccatswrd  13456  swrdccat1  13457  swrdccat2  13458  cats1un  13475  revcl  13510  revlen  13511  revccat  13515  revrev  13516  repsdf2  13525  cshwf  13546  cshinj  13557  wrdco  13577  lenco  13578  revco  13580  ccatco  13581  lswco  13584  s2dm  13635  wwlktovf  13699  ofccat  13708  gsumwsubmcl  17375  gsumccat  17378  gsumwmhm  17382  frmdss2  17400  symgtrinv  17892  psgnunilem5  17914  psgnunilem2  17915  psgnunilem3  17916  efginvrel1  18141  efgsf  18142  efgsrel  18147  efgs1b  18149  efgredlemf  18154  efgredlemd  18157  efgredlemc  18158  efgredlem  18160  frgpup3lem  18190  pgpfaclem1  18480  ablfaclem2  18485  ablfaclem3  18486  ablfac2  18488  dchrptlem1  24989  dchrptlem2  24990  trgcgrg  25410  tgcgr4  25426  wrdupgr  25980  wrdumgr  25992  vdegp1ai  26432  vdegp1bi  26433  wlkreslem  26566  wlkres  26567  wlkp1  26578  wlkdlem1  26579  trlf1  26595  trlreslem  26596  upgrwlkdvdelem  26632  pthdlem1  26662  pthdlem2lem  26663  uspgrn2crct  26700  wlkiswwlks2lem3  26757  wlkiswwlksupgr2  26763  clwlkclwwlklem2a  26899  clwlkclwwlklem2  26901  1wlkdlem1  26997  wlk2v2e  27017  eucrctshift  27103  konigsbergssiedgw  27111  sseqf  30454  fiblem  30460  wrdfd  30616  wrdres  30617  ofcccat  30620  signstcl  30642  signstf  30643  signstfvn  30646  signsvtn0  30647  signstres  30652  signsvtp  30660  signsvtn  30661  signsvfpn  30662  signsvfnn  30663  signshf  30665  mvrsfpw  31403  amgm2d  38501  amgm3d  38502  amgm4d  38503  lswn0  41380  pfxres  41388  ccatpfx  41409  amgmw2d  42550