Theorem climsuse 39840

Description: A subsequence G of a converging sequence F, converges to the same limit. I is the strictly increasing and it is used to index the subsequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsuse.1	|- F/ k ph
climsuse.3	|- F/_ k F
climsuse.2	|- F/_ k G
climsuse.4	|- F/_ k I
climsuse.5	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climsuse.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
climsuse.7	|- ( ph -> F e. X )
climsuse.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climsuse.9	|- ( ph -> F ~~> A )
climsuse.10	|- ( ph -> ( I ` M ) e. Z )
climsuse.11	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( I ` ( k + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` k ) + 1 ) ) )
climsuse.12	|- ( ph -> G e. Y )
climsuse.13	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( I ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climsuse	|- ( ph -> G ~~> A )

Distinct variable group:   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   F( k)   G( k)   I( k)   M( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem climsuse

Dummy variables h i j x l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsuse.9	. . 3 |- ( ph -> F ~~> A )
2		climcl 14230	. . 3 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
4		nfv 1843	. . 3 |- F/ x ph
5		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ M <_ j ) -> j e. ZZ )
6		climsuse.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7	6	ad4antr 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ -. M <_ j ) -> M e. ZZ )
8	5, 7	ifclda 4120	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) -> if ( M <_ j , j , M ) e. ZZ )
9		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ )
10		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ i A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x )
11	9, 10	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) )
12		simp-4l 806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ph )
13		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> j e. ZZ )
14	12, 13	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( ph /\ j e. ZZ ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ M <_ j ) -> M <_ j )
17	6	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> ( M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ M <_ j ) -> ( M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
19		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ j ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ M <_ j ) -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ j ) )
21	16, 20	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ M <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
22		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ -. M <_ j ) -> ph )
23		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24	22, 6, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ ) /\ -. M <_ j ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
25	21, 24	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> if ( M <_ j , j , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
26		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( M <_ j , j , M ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
28		climsuse.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
29	27, 28	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) C_ Z )
30	29	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ZZ ) -> ( i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) -> i e. Z ) )
31	14, 15, 30	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. Z )
32		climsuse.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ph
33		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k i e. Z
34	32, 33	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ph /\ i e. Z )
35		climsuse.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k G
36		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k i
37	35, 36	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( G ` i )
38		climsuse.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k F
39		climsuse.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k I
40	39, 36	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k ( I ` i )
41	38, 40	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( F ` ( I ` i ) )
42	37, 41	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( G ` i ) = ( F ` ( I ` i ) )
43	34, 42	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( I ` i ) ) )
44		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( k e. Z <-> i e. Z ) )
45	44	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ i e. Z ) ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( G ` k ) = ( G ` i ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = i -> ( I ` k ) = ( I ` i ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( F ` ( I ` k ) ) = ( F ` ( I ` i ) ) )
49	46, 48	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( ( G ` k ) = ( F ` ( I ` k ) ) <-> ( G ` i ) = ( F ` ( I ` i ) ) ) )
50	45, 49	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( I ` k ) ) ) <-> ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( I ` i ) ) ) ) )
51		climsuse.13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( I ` k ) ) )
52	43, 50, 51	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( I ` i ) ) )
53	28	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. Z <-> i e. ( ZZ>= ` M ) )
54	53	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. Z -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
56		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
58		climsuse.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( I ` M ) e. Z )
59		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k ( i + 1 )
60	39, 59	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( I ` ( i + 1 ) )
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k ZZ>=
62		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k +
63		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k 1
64	40, 62, 63	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k ( ( I ` i ) + 1 )
65	61, 64	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) )
66	60, 65	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( I ` ( i + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) )
67	34, 66	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( I ` ( i + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) ) )
68		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( k + 1 ) = ( i + 1 ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( I ` ( k + 1 ) ) = ( I ` ( i + 1 ) ) )
70	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( ( I ` k ) + 1 ) = ( ( I ` i ) + 1 ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ZZ>= ` ( ( I ` k ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) ) )
72	69, 71	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( ( I ` ( k + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` k ) + 1 ) ) <-> ( I ` ( i + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) ) ) )
73	45, 72	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = i -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( I ` ( k + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` k ) + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( I ` ( i + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) ) ) ) )
74		climsuse.11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( I ` ( k + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` k ) + 1 ) ) )
75	67, 73, 74	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( I ` ( i + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` i ) + 1 ) ) )
76	28, 6, 58, 75	climsuselem1 39839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` i ) )
77	57, 76	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` M ) )
78	77, 28	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( I ` i ) e. Z )
79	78	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( i e. Z -> ( I ` i ) e. Z ) )
80	79	imdistani 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ph /\ ( I ` i ) e. Z ) )
81	33	nfci 2754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k Z
82	40, 81	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( I ` i ) e. Z
83	32, 82	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ph /\ ( I ` i ) e. Z )
84	41	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( F ` ( I ` i ) ) e. CC
85	83, 84	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ ( I ` i ) e. Z ) -> ( F ` ( I ` i ) ) e. CC )
86		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( I ` i ) -> ( k e. Z <-> ( I ` i ) e. Z ) )
87	86	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( I ` i ) -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ ( I ` i ) e. Z ) ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( I ` i ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( I ` i ) ) )
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( I ` i ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` ( I ` i ) ) e. CC ) )
90	87, 89	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( I ` i ) -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC ) <-> ( ( ph /\ ( I ` i ) e. Z ) -> ( F ` ( I ` i ) ) e. CC ) ) )
91		climsuse.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
92	40, 85, 90, 91	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` i ) e. Z -> ( ( ph /\ ( I ` i ) e. Z ) -> ( F ` ( I ` i ) ) e. CC ) )
93	78, 80, 92	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` ( I ` i ) ) e. CC )
94	52, 93	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( G ` i ) e. CC )
95	12, 31, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( G ` i ) e. CC )
96	12, 31, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( G ` i ) = ( F ` ( I ` i ) ) )
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( ( G ` i ) - A ) = ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = h -> ( F ` i ) = ( F ` h ) )
100	99	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = h -> ( ( F ` i ) e. CC <-> ( F ` h ) e. CC ) )
101	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = h -> ( ( F ` i ) - A ) = ( ( F ` h ) - A ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = h -> ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) )
103	102	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = h -> ( ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) )
104	100, 103	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = h -> ( ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) ) )
105	104	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) <-> A. h e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) )
106	105	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) -> A. h e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) )
107	106	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> A. h e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) )
108		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ZZ -> j e. RR )
109	108	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> j e. RR )
110		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) )
111		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) -> i e. ZZ )
112		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
113	110, 111, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. RR )
114		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ph )
115	6	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. RR )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> M e. RR )
117		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) /\ M <_ j ) -> j e. ZZ )
118	117	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) /\ M <_ j ) -> j e. RR )
119	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) /\ -. M <_ j ) -> M e. RR )
120	118, 119	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> if ( M <_ j , j , M ) e. RR )
121		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. RR /\ j e. RR ) -> M <_ if ( M <_ j , j , M ) )
122	116, 109, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> M <_ if ( M <_ j , j , M ) )
123		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) -> if ( M <_ j , j , M ) <_ i )
124	123	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> if ( M <_ j , j , M ) <_ i )
125	116, 120, 113, 122, 124	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> M <_ i )
126	114, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> M e. ZZ )
127	111	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. ZZ )
128		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
129	126, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
130	125, 129	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
131	130, 28	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i e. Z )
132	114, 131	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( ph /\ i e. Z ) )
133		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( I ` i ) e. RR )
134	132, 77, 133	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( I ` i ) e. RR )
135		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ j e. RR ) -> j <_ if ( M <_ j , j , M ) )
136	116, 109, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> j <_ if ( M <_ j , j , M ) )
137	109, 120, 113, 136, 124	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> j <_ i )
138		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` i ) -> i <_ ( I ` i ) )
139	132, 76, 138	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> i <_ ( I ` i ) )
140	109, 113, 134, 137, 139	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> j <_ ( I ` i ) )
141		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> j e. ZZ )
142		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` i ) -> ( I ` i ) e. ZZ )
143	132, 76, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( I ` i ) e. ZZ )
144		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ZZ /\ ( I ` i ) e. ZZ ) -> ( ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` j ) <-> j <_ ( I ` i ) ) )
145	141, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` j ) <-> j <_ ( I ` i ) ) )
146	140, 145	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` j ) )
147	12, 13, 15, 146	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` j ) )
148		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( I ` i ) -> ( F ` h ) = ( F ` ( I ` i ) ) )
149	148	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( I ` i ) -> ( ( F ` h ) e. CC <-> ( F ` ( I ` i ) ) e. CC ) )
150	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = ( I ` i ) -> ( ( F ` h ) - A ) = ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( I ` i ) -> ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) )
152	151	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( I ` i ) -> ( ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) < x ) )
153	149, 152	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( I ` i ) -> ( ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( I ` i ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) < x ) ) )
154	153	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. h e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) /\ ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` ( I ` i ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) < x ) )
155	154	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. h e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` h ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` h ) - A ) ) < x ) /\ ( I ` i ) e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) < x )
156	107, 147, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( I ` i ) ) - A ) ) < x )
157	98, 156	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x )
158	95, 157	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ) -> ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) )
159	158	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) -> ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) ) )
160	11, 159	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) )
161		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( l = if ( M <_ j , j , M ) -> ( ZZ>= ` l ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) )
162	161	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( l = if ( M <_ j , j , M ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) ) )
163	162	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( if ( M <_ j , j , M ) e. ZZ /\ A. i e. ( ZZ>= ` if ( M <_ j , j , M ) ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) ) -> E. l e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) )
164	8, 160, 163	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ZZ ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) -> E. l e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) )
165		climsuse.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. X )
166		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ZZ ) -> ( F ` i ) = ( F ` i ) )
167	165, 166	clim 14225	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) ) )
168	1, 167	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) ) )
169	168	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) )
170	169	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - A ) ) < x ) )
171	164, 170	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. l e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) )
172	171	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ -> E. l e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) ) )
173	4, 172	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. l e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) )
174		climsuse.12	. . 3 |- ( ph -> G e. Y )
175		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ZZ ) -> ( G ` i ) = ( G ` i ) )
176	174, 175	clim 14225	. 2 |- ( ph -> ( G ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. l e. ZZ A. i e. ( ZZ>= ` l ) ( ( G ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( G ` i ) - A ) ) < x ) ) ) )
177	3, 173, 176	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> G ~~> A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  sumnnodd  39862  stirlinglem8  40298