Theorem clwlkclwwlklem3 26902

Description: Lemma 3 for clwlkclwwlk 26903. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref

Expression

clwlkclwwlklem3

|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. f ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, E, i   P, f, i   R, f, i   f, V, i

Proof of Theorem clwlkclwwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E : dom E -1-1-> R )
2		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> f e. Word dom E )
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> f e. Word dom E )
4	1, 3	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( E : dom E -1-1-> R /\ f e. Word dom E ) )
5		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
6		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V )
7	5, 6	anim12ci 591	. . . . . 6 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) )
8		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
9	8	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) )
11		clwlkclwwlklem2 26901	. . . . . 6 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ f e. Word dom E ) /\ ( P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) )
13		lencl 13324	. . . . . . . 8 |- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. NN0 )
14		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. Word dom E -> ( # ` f ) e. NN0 )
15		ffz0hash 13231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V ) -> ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) )
16		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) -> ( ( # ` P ) - 1 ) = ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) = ( ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) - 0 ) )
18		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( # ` f ) e. CC )
19		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` f ) e. CC -> ( ( # ` f ) + 1 ) e. CC )
20		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` f ) + 1 ) e. CC -> ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) e. CC )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) e. CC )
22	21	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) - 0 ) = ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) )
23		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> 1 e. CC )
24	18, 23	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` f ) )
25	22, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) - 0 ) = ( # ` f ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 1 ) - 0 ) = ( # ` f ) )
27	17, 26	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) = ( # ` f ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( # ` f ) - 1 ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) = ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) )
30	29	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 2 ) )
32		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> 2 e. CC )
33	18, 32, 23	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( # ` f ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 2 ) )
34		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( 2 - 1 ) = 1 )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( # ` f ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( # ` f ) - 1 ) )
37	33, 36	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 2 ) = ( ( # ` f ) - 1 ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( # ` f ) + 1 ) - 2 ) = ( ( # ` f ) - 1 ) )
39	31, 38	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = ( ( # ` f ) - 1 ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) = ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) )
41	40	preq1d 4274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } = { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E <-> { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) )
43	30, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) )
44	43	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
45		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) )
46	44, 45	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) )
47	46	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) -> ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
48	47	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` P ) = ( ( # ` f ) + 1 ) -> ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) )
49	15, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V ) -> ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V -> ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) ) )
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) ) )
52	14, 14, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Word dom E -> ( P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
54	53	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
56	13, 55	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( P e. Word V -> ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
58	57	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` f ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` f ) - 1 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) )
59	12, 58	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) )
60	59	ex 450	. . 3 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
61	60	exlimdv 1861	. 2 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. f ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )
62		clwlkclwwlklem1 26900	. 2 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> E. f ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) ) )
63	61, 62	impbid 202	1 |- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. f ( ( f e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` f ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` f ) ) ( E ` ( f ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` f ) ) ) <-> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   {cpr 4179   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  26903