Theorem coinflippv 30545

Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	|- H e. _V
coinflip.t	|- T e. _V
coinflip.th	|- H =/= T
coinflip.2	|- P = ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 )
coinflip.3	|- X = { <. H , 1 >. , <. T , 0 >. }

Assertion

Ref	Expression
coinflippv	|- ( P ` { H } ) = ( 1 / 2 )

Proof of Theorem coinflippv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 |- P = ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 )
2	1	fveq1i 6192	. 2 |- ( P ` { H } ) = ( ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 ) ` { H } )
3		snsspr1 4345	. . 3 |- { H } C_ { H , T }
4		prex 4909	. . . . 5 |- { H , T } e. _V
5	4	elpw2 4828	. . . 4 |- ( { H } e. ~P { H , T } <-> { H } C_ { H , T } )
6	5	biimpri 218	. . 3 |- ( { H } C_ { H , T } -> { H } e. ~P { H , T } )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = { H } -> ( # ` x ) = ( # ` { H } ) )
8		coinflip.h	. . . . . . 7 |- H e. _V
9		hashsng 13159	. . . . . . 7 |- ( H e. _V -> ( # ` { H } ) = 1 )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( # ` { H } ) = 1
11	7, 10	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( x = { H } -> ( # ` x ) = 1 )
12	11	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( x = { H } -> ( ( # ` x ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
13	4	pwex 4848	. . . . . . 7 |- ~P { H , T } e. _V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( H e. _V -> ~P { H , T } e. _V )
15		2nn0 11309	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( H e. _V -> 2 e. NN0 )
17		prfi 8235	. . . . . . . . 9 |- { H , T } e. Fin
18		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P { H , T } -> x C_ { H , T } )
19		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( { H , T } e. Fin /\ x C_ { H , T } ) -> x e. Fin )
20	17, 18, 19	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P { H , T } -> x e. Fin )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( H e. _V /\ x e. ~P { H , T } ) -> x e. Fin )
22		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( H e. _V /\ x e. ~P { H , T } ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
24		hashf 13125	. . . . . . . 8 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( H e. _V -> # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) )
26		ssv 3625	. . . . . . . 8 |- ~P { H , T } C_ _V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( H e. _V -> ~P { H , T } C_ _V )
28	25, 27	feqresmpt 6250	. . . . . 6 |- ( H e. _V -> ( # |` ~P { H , T } ) = ( x e. ~P { H , T } |-> ( # ` x ) ) )
29	14, 16, 23, 28	ofcfval2 30166	. . . . 5 |- ( H e. _V -> ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 ) = ( x e. ~P { H , T } |-> ( ( # ` x ) / 2 ) ) )
30	8, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 ) = ( x e. ~P { H , T } |-> ( ( # ` x ) / 2 ) )
31		ovex 6678	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. _V
32	12, 30, 31	fvmpt 6282	. . 3 |- ( { H } e. ~P { H , T } -> ( ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 ) ` { H } ) = ( 1 / 2 ) )
33	3, 6, 32	mp2b 10	. 2 |- ( ( ( # |` ~P { H , T } )∘𝑓/𝑐 / 2 ) ` { H } ) = ( 1 / 2 )
34	2, 33	eqtri 2644	1 |- ( P ` { H } ) = ( 1 / 2 )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   #chash 13117  ∘_𝑓/𝑐cofc 30157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ofc 30158

This theorem is referenced by:  coinflippvt  30546