Theorem hashcl 13147

Description: Closure of the # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	|- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
2	1	hashgval 13120	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
3		ficardom 8787	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( card ` A ) e. om )
4	1	hashgf1o 12770	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om -1-1-onto-> NN0
5		f1of 6137	. . . . 5 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om -1-1-onto-> NN0 -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om --> NN0 )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om --> NN0
7	6	ffvelrni 6358	. . 3 |- ( ( card ` A ) e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) e. NN0 )
8	3, 7	syl 17	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) e. NN0 )
9	2, 8	eqeltrrd 2702	1 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   Fincfn 7955   cardccrd 8761   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashclb  13149  isfinite4  13153  hashnncl  13157  hashdom  13168  hashsdom  13170  hashun2  13172  hashun3  13173  hashunx  13175  1elfz0hash  13179  hashssdif  13200  hashdifpr  13203  hashunlei  13212  hashsslei  13213  hashxplem  13220  hashmap  13222  hashfun  13224  hashreshashfun  13226  fnfz0hashnn0  13232  fnfzo0hashnn0  13235  hashbclem  13236  hashf1lem2  13240  hashf1  13241  hashfac  13242  fz1isolem  13245  seqcoll2  13249  hashge2el2dif  13262  hashtpg  13267  hash1to3  13273  fi1uzind  13279  brfi1indALT  13282  fi1uzindOLD  13285  brfi1indALTOLD  13288  lencl  13324  wrdnfi  13338  ccatval2  13362  splfv1  13506  splfv2a  13507  ofccat  13708  isercoll  14398  fz1f1o  14441  o1fsum  14545  hashiun  14554  hash2iun1dif1  14556  ackbijnn  14560  incexclem  14568  incexc  14569  incexc2  14570  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  sumodd  15111  phicl2  15473  phiprmpw  15481  sumhash  15600  prmreclem3  15622  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  4sqlem11  15659  vdwlem11  15695  vdwlem12  15696  vdwlem13  15697  ramlb  15723  0ram  15724  ramub1lem1  15730  ramub1lem2  15731  lagsubg2  17655  lagsubg  17656  psgnunilem4  17917  odhash3  17991  gexdvds3  18005  sylow1lem1  18013  sylow1lem5  18017  pgpfi  18020  pgpssslw  18029  sylow2alem2  18033  sylow2a  18034  sylow2blem3  18037  sylow3lem3  18044  sylow3lem4  18045  sylow3lem6  18047  cyggex2  18298  ablfacrplem  18464  ablfacrp2  18466  ablfac1c  18470  ablfac1eulem  18471  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem2  18474  pgpfaclem2  18481  ablfaclem3  18486  0ringnnzr  19269  cygznlem1  19915  cygznlem2a  19916  cygznlem3  19918  cygth  19920  mdet1  20407  chpscmatgsumbin  20649  chpscmatgsummon  20650  tsmsxp  21958  fta1glem2  23926  fta1blem  23928  fta1lem  24062  vieta1lem2  24066  birthday  24681  ppif  24856  isnsqf  24861  muf  24866  0sgm  24870  mule1  24874  ppidif  24889  mumul  24907  musum  24917  ppiub  24929  chpub  24945  dchrabs  24985  sumdchr2  24995  dchrhash  24996  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  lgsquadlem3  25107  rpvmasum2  25201  dchrisum0re  25202  pntlemr  25291  pntlemj  25292  fusgredgfi  26217  hashnbusgrnn0  26278  nbusgrvtxm1  26281  vtxdgfival  26365  vtxdgfisnn0  26371  vtxdginducedm1fi  26440  finsumvtxdg2ssteplem4  26444  finsumvtxdgeven  26448  upgrwlkdvdelem  26632  clwwlksndivn  26957  konigsberglem5  27118  frrusgrord0lem  27203  numclwwlk1  27231  numclwwlk3OLD  27242  numclwwlk3  27243  numclwwlk5  27246  numclwwlk6  27248  frgrregord013  27253  frgrogt3nreg  27255  friendshipgt3  27256  friendship  27257  esumcst  30125  hasheuni  30147  coinfliplem  30540  coinflippv  30545  ballotlemfelz  30552  ballotlemfp1  30553  ballotlemgun  30586  ballotth  30599  ofcccat  30620  signshf  30665  reprlt  30697  hashreprin  30698  derangf  31150  derangen2  31156  subfacp1lem1  31161  erdszelem8  31180  erdsze2lem1  31185  snmlff  31311  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  rrnequiv  33634  rrntotbnd  33635  eldioph2lem1  37323  isnumbasgrplem3  37675  rp-isfinite5  37863  fzisoeu  39514  stoweidlem26  40243  fourierdlem36  40360  fourierdlem52  40375  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  rrndistlt  40510  hoicvrrex  40770  pgrple2abl  42146  pgrpgt2nabl  42147