MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshwlkn0lem2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem crctcshwlkn0lem2 26703
Description: Lemma for crctcshwlkn0 26713. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
crctcshwlkn0lem.q |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem2 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> ( Q ` J ) = ( P ` ( J + S ) ) )
Distinct variable groups:   x, J   x, N   x, P   x, S   ph, x
Allowed substitution hint:   Q( x)
Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2
StepHypRef Expression
1 crctcshwlkn0lem.q . . . 4 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
21a1i 11 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) ) )
3 breq1 4656 . . . . 5 |- ( x = J -> ( x <_ ( N - S ) <-> J <_ ( N - S ) ) )
4 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( x = J -> ( x + S ) = ( J + S ) )
54fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = J -> ( P ` ( x + S ) ) = ( P ` ( J + S ) ) )
64oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( x = J -> ( ( x + S ) - N ) = ( ( J + S ) - N ) )
76fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = J -> ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) = ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) )
83, 5, 7ifbieq12d 4113 . . . 4 |- ( x = J -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) = if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) )
98adantl 482 . . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) /\ x = J ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) = if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) )
10 crctcshwlkn0lem.s . . . . 5 |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
11 fzo0ss1 12498 . . . . . 6 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
1211sseli 3599 . . . . 5 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. ( 0..^ N ) )
13 elfzoel2 12469 . . . . . . . 8 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
14 elfzonn0 12512 . . . . . . . 8 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> S e. NN0 )
15 eluzmn 11694 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ S e. NN0 ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - S ) ) )
1613, 14, 15syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - S ) ) )
17 fzss2 12381 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - S ) ) -> ( 0 ... ( N - S ) ) C_ ( 0 ... N ) )
1816, 17syl 17 . . . . . 6 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> ( 0 ... ( N - S ) ) C_ ( 0 ... N ) )
1918sseld 3602 . . . . 5 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0 ... ( N - S ) ) -> J e. ( 0 ... N ) ) )
2010, 12, 193syl 18 . . . 4 |- ( ph -> ( J e. ( 0 ... ( N - S ) ) -> J e. ( 0 ... N ) ) )
2120imp 445 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
22 fvex 6201 . . . . 5 |- ( P ` ( J + S ) ) e. _V
23 fvex 6201 . . . . 5 |- ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) e. _V
2422, 23ifex 4156 . . . 4 |- if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) e. _V
2524a1i 11 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) e. _V )
262, 9, 21, 25fvmptd 6288 . 2 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> ( Q ` J ) = if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) )
27 elfzle2 12345 . . . 4 |- ( J e. ( 0 ... ( N - S ) ) -> J <_ ( N - S ) )
2827adantl 482 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> J <_ ( N - S ) )
2928iftrued 4094 . 2 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> if ( J <_ ( N - S ) , ( P ` ( J + S ) ) , ( P ` ( ( J + S ) - N ) ) ) = ( P ` ( J + S ) ) )
3026, 29eqtrd 2656 1 |- ( ( ph /\ J e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> ( Q ` J ) = ( P ` ( J + S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  26705  crctcshwlkn0lem6  26707
  Copyright terms: Public domain W3C validator