Theorem crctcshwlkn0lem4 26705

Description: Lemma for crctcshwlkn0 26713. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	|- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
crctcshwlkn0lem.q	|- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
crctcshwlkn0lem.h	|- H = ( F cyclShift S )
crctcshwlkn0lem.n	|- N = ( # ` F )
crctcshwlkn0lem.f	|- ( ph -> F e. Word A )
crctcshwlkn0lem.p	|- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem4	|- ( ph -> A. j e. ( 0..^ ( N - S ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, P   x, S   ph, x   i, F   i, I   i, N   P, i   S, i   ph, i, j   x, j

Allowed substitution hints:   A( x, i, j)   P( j)   Q( x, i, j)   S( j)   F( x, j)   H( x, i, j)   I( x, j)   N( j)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
3		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> j e. ZZ )
4	3	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> j e. CC )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> j e. CC )
6		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. ZZ )
7	6	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. CC )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> S e. CC )
9		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> 1 e. CC )
10	5, 8, 9	add32d 10263	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) )
11		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( 1..^ N ) <-> ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) )
12		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. NN -> S e. NN0 )
13		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> j e. NN0 )
14		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. NN0 /\ S e. NN0 ) -> ( j + S ) e. NN0 )
15	14	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 -> ( S e. NN0 -> ( j + S ) e. NN0 ) )
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( S e. NN0 -> ( j + S ) e. NN0 ) )
17	12, 16	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. NN -> ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( j + S ) e. NN0 ) )
18	17	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( j + S ) e. NN0 ) )
19	11, 18	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( j + S ) e. NN0 ) )
20	19	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) e. NN0 )
21		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
22	21	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. ( 0..^ N ) )
23		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ( 0..^ N ) <-> ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) )
24	23	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> N e. NN )
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> N e. NN )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> N e. NN )
27		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) <-> ( j e. NN0 /\ ( N - S ) e. NN /\ j < ( N - S ) ) )
28		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN0 -> j e. RR )
29		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S e. NN -> S e. RR )
30		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> N e. RR )
31	29, 30	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( S e. RR /\ N e. RR ) )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( S e. RR /\ N e. RR ) )
33	11, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( S e. RR /\ N e. RR ) )
34	28, 33	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN0 /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( j e. RR /\ ( S e. RR /\ N e. RR ) ) )
35		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. RR /\ S e. RR /\ N e. RR ) <-> ( j e. RR /\ ( S e. RR /\ N e. RR ) ) )
36	34, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. NN0 /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( j e. RR /\ S e. RR /\ N e. RR ) )
37		ltaddsub 10502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. RR /\ S e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( j + S ) < N <-> j < ( N - S ) ) )
38	37	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. RR /\ S e. RR /\ N e. RR ) -> ( j < ( N - S ) <-> ( j + S ) < N ) )
39	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. NN0 /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( j < ( N - S ) <-> ( j + S ) < N ) )
40	39	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. NN0 /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( j < ( N - S ) -> ( j + S ) < N ) )
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 -> ( S e. ( 1..^ N ) -> ( j < ( N - S ) -> ( j + S ) < N ) ) )
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 -> ( j < ( N - S ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> ( j + S ) < N ) ) )
43	42	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 -> ( ( N - S ) e. NN -> ( j < ( N - S ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> ( j + S ) < N ) ) ) )
44	43	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN0 /\ ( N - S ) e. NN /\ j < ( N - S ) ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> ( j + S ) < N ) )
45	27, 44	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( S e. ( 1..^ N ) -> ( j + S ) < N ) )
46	45	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) < N )
47		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + S ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( j + S ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( j + S ) < N ) )
48	20, 26, 46, 47	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) e. ( 0..^ N ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) -> ( j + S ) e. ( 0..^ N ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + S ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( j + S ) ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( j + S ) ) )
52		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + S ) -> ( i + 1 ) = ( ( j + S ) + 1 ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + S ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + S ) + 1 ) ) )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) -> ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) -> ( P ` ( ( j + S ) + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) )
56	53, 55	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) )
57	51, 56	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) <-> ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + S ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( j + S ) ) )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + S ) -> ( I ` ( F ` i ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) )
60	50	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + S ) -> { ( P ` i ) } = { ( P ` ( j + S ) ) } )
61	59, 60	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j + S ) -> ( ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } <-> ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> ( ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } <-> ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } ) )
63	51, 56	preq12d 4276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } )
64	59	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> ( I ` ( F ` i ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) )
65	63, 64	sseq12d 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) <-> { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) )
66	57, 62, 65	ifpbi123d 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ i = ( j + S ) ) -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
67	49, 66	rspcdv 3312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) /\ ( ( j + S ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
68	10, 67	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
69	2, 68	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
70	69	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) ) )
71	1, 70	mpid 44	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
72	71	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) )
73		elfzofz 12485	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> j e. ( 0 ... ( N - S ) ) )
74		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
75	2, 74	crctcshwlkn0lem2 26703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) )
76	73, 75	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) )
77		fzofzp1 12565	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... ( N - S ) ) )
78	2, 74	crctcshwlkn0lem2 26703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) )
79	77, 78	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) )
80		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 |- H = ( F cyclShift S )
81	80	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( H ` j ) = ( ( F cyclShift S ) ` j )
82		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. Word A )
83	82	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> F e. Word A )
84	2, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ZZ )
85	84	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> S e. ZZ )
86		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
88		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. NN -> S e. ZZ )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> S e. ZZ )
90	87, 89	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N - S ) e. ZZ )
91	12	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. NN -> 0 <_ S )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ S )
93		subge02 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ S e. RR ) -> ( 0 <_ S <-> ( N - S ) <_ N ) )
94	30, 29, 93	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ S <-> ( N - S ) <_ N ) )
95	92, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N - S ) <_ N )
96	90, 87, 95	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N - S ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - S ) <_ N ) )
97	96	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( N - S ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - S ) <_ N ) )
98	11, 97	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - S ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - S ) <_ N ) )
99		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - S ) ) <-> ( ( N - S ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - S ) <_ N ) )
100	98, 99	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - S ) ) )
101		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - S ) ) -> ( 0..^ ( N - S ) ) C_ ( 0..^ N ) )
102	2, 100, 101	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0..^ ( N - S ) ) C_ ( 0..^ N ) )
103	102	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> j e. ( 0..^ N ) )
104		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( # ` F )
105	104	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ N ) = ( 0..^ ( # ` F ) )
106	103, 105	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> j e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
107		cshwidxmod 13549	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Word A /\ S e. ZZ /\ j e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F cyclShift S ) ` j ) = ( F ` ( ( j + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
108	83, 85, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( F cyclShift S ) ` j ) = ( F ` ( ( j + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
109	104	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` F ) = N
110	109	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( ( j + S ) mod ( # ` F ) ) = ( ( j + S ) mod N )
111	18	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) e. NN0 )
112		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
113	112	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
115	28, 32	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( j e. RR /\ ( S e. RR /\ N e. RR ) ) )
116	115, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( j e. RR /\ S e. RR /\ N e. RR ) )
117	116, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( j < ( N - S ) <-> ( j + S ) < N ) )
118	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> S e. NN0 )
119	118, 14	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( j + S ) e. NN0 )
120	119	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( j + S ) e. ZZ )
121	86	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> N e. ZZ )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> N e. ZZ )
123		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j + S ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( j + S ) < N <-> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
124	120, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( ( j + S ) < N <-> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
125	124	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( ( j + S ) < N -> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
126	117, 125	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. NN0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) ) -> ( j < ( N - S ) -> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
127	126	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. NN0 /\ j < ( N - S ) ) -> ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
128	127	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. NN0 /\ ( N - S ) e. NN /\ j < ( N - S ) ) -> ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
129	27, 128	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0..^ ( N - S ) ) -> ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
130	129	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) <_ ( N - 1 ) )
131	111, 114, 130	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( j + S ) e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN0 /\ ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
132	11, 131	sylanb 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( j + S ) e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN0 /\ ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
133		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + S ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( j + S ) e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. NN0 /\ ( j + S ) <_ ( N - 1 ) ) )
134	132, 133	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
135		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( j + S ) e. ZZ )
136	3, 6, 135	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( j + S ) e. ZZ )
137		zmodid2 12698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j + S ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( j + S ) mod N ) = ( j + S ) <-> ( j + S ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
138	136, 26, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( ( j + S ) mod N ) = ( j + S ) <-> ( j + S ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
139	134, 138	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ( 1..^ N ) /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( j + S ) mod N ) = ( j + S ) )
140	2, 139	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( j + S ) mod N ) = ( j + S ) )
141	110, 140	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( j + S ) mod ( # ` F ) ) = ( j + S ) )
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( F ` ( ( j + S ) mod ( # ` F ) ) ) = ( F ` ( j + S ) ) )
143	108, 142	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( ( F cyclShift S ) ` j ) = ( F ` ( j + S ) ) )
144	81, 143	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( H ` j ) = ( F ` ( j + S ) ) )
145	144	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) )
146		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) )
147		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) )
148	146, 147	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) <-> ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) ) )
149		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) )
150	146	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> { ( Q ` j ) } = { ( P ` ( j + S ) ) } )
151	149, 150	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> ( ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } <-> ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } ) )
152	146, 147	preq12d 4276	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } = { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } )
153	152, 149	sseq12d 3634	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> ( { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) <-> { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) )
154	148, 151, 153	ifpbi123d 1027	. . . 4 |- ( ( ( Q ` j ) = ( P ` ( j + S ) ) /\ ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) /\ ( I ` ( H ` j ) ) = ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) -> (if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
155	76, 79, 145, 154	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> (if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( j + S ) ) = ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) , ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) = { ( P ` ( j + S ) ) } , { ( P ` ( j + S ) ) , ( P ` ( ( j + 1 ) + S ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( j + S ) ) ) ) ) )
156	72, 155	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ ( N - S ) ) ) -> if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
157	156	ralrimiva 2966	1 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ ( N - S ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384  if-wif 1012   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  26708