Theorem crctcshwlkn0 26713

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit <. F , P >. results in a walk <. H , Q >.. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	|- V = (Vtx ` G )
crctcsh.i	|- I = (iEdg ` G )
crctcsh.d	|- ( ph -> F (Circuits ` G ) P )
crctcsh.n	|- N = ( # ` F )
crctcsh.s	|- ( ph -> S e. ( 0..^ N ) )
crctcsh.h	|- H = ( F cyclShift S )
crctcsh.q	|- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0	|- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> H (Walks ` G ) Q )

Distinct variable groups:   x, N   x, P   x, S   ph, x   x, F   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   Q( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem crctcshwlkn0

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.h	. . . . 5 |- H = ( F cyclShift S )
2		crctcsh.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> F (Circuits ` G ) P )
3		crctiswlk 26691	. . . . . . 7 |- ( F (Circuits ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
4		crctcsh.i	. . . . . . . 8 |- I = (iEdg ` G )
5	4	wlkf 26510	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. Word dom I )
6	2, 3, 5	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Word dom I )
7		cshwcl 13544	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom I -> ( F cyclShift S ) e. Word dom I )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( F cyclShift S ) e. Word dom I )
9	1, 8	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> H e. Word dom I )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> H e. Word dom I )
11	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
12		crctcsh.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (Vtx ` G )
13	12	wlkp 26512	. . . . . . . . 9 |- ( F (Walks ` G ) P -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
14		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
15		crctcsh.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. ( 0..^ N ) )
16		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> x e. NN0 )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> x e. NN0 )
18		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> S e. NN0 )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> S e. NN0 )
20	17, 19	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( x + S ) e. NN0 )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( x + S ) e. NN0 )
22		crctcsh.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( # ` F )
23		elfz3nn0 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
24	22, 23	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> ( # ` F ) e. NN0 )
25	24	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( # ` F ) e. NN0 )
26		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> x e. ZZ )
27	26	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> x e. RR )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> x e. RR )
29		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> S e. ZZ )
30	29	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> S e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> S e. RR )
32		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
33	32	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
35		leaddsub 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. RR /\ S e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x + S ) <_ N <-> x <_ ( N - S ) ) )
36	28, 31, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( x + S ) <_ N <-> x <_ ( N - S ) ) )
37	36	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( x + S ) <_ N )
38	37, 22	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( x + S ) <_ ( # ` F ) )
39	21, 25, 38	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( x + S ) <_ ( # ` F ) ) )
40	15, 39	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( x + S ) <_ ( # ` F ) ) )
41		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x + S ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> ( ( x + S ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( x + S ) <_ ( # ` F ) ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( x + S ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
43	42	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( x + S ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
44	14, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) /\ x <_ ( N - S ) ) -> ( P ` ( x + S ) ) e. V )
45		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
46		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
47		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( x + S ) e. ZZ )
48	47	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( x + S ) e. ZZ )
49		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
50	48, 49	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x + S ) - N ) e. ZZ )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) - N ) e. ZZ )
52		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( N - S ) e. ZZ )
53	52	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - S ) e. ZZ )
54	53	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - S ) e. RR )
55		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
56		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N - S ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( N - S ) < x <-> -. x <_ ( N - S ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N - S ) < x <-> -. x <_ ( N - S ) ) )
58		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
60		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S e. ZZ -> S e. RR )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> S e. RR )
62	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> x e. RR )
63		ltsubadd 10498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. RR /\ S e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( N - S ) < x <-> N < ( x + S ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl2an23an 1387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N - S ) < x <-> N < ( x + S ) ) )
65	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
66	48	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( x + S ) e. RR )
67	65, 66	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N < ( x + S ) <-> 0 < ( ( x + S ) - N ) ) )
68		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> 0 e. RR )
69	50	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x + S ) - N ) e. RR )
70		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ ( ( x + S ) - N ) e. RR ) -> ( 0 < ( ( x + S ) - N ) -> 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
71	68, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( 0 < ( ( x + S ) - N ) -> 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
72	67, 71	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N < ( x + S ) -> 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
73	64, 72	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N - S ) < x -> 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
74	57, 73	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( -. x <_ ( N - S ) -> 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> 0 <_ ( ( x + S ) - N ) )
76	51, 75	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
77	76	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. x <_ ( N - S ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) ) ) )
78	77, 26	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( 0 ... N ) -> ( -. x <_ ( N - S ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) ) ) )
79	29, 46, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> ( x e. ( 0 ... N ) -> ( -. x <_ ( N - S ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) ) ) )
80	79	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
81		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x + S ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( x + S ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( x + S ) - N ) ) )
82	80, 81	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) - N ) e. NN0 )
83	24	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( # ` F ) e. NN0 )
84		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S e. ( 0..^ N ) <-> ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) )
85		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( 0 ... N ) <-> ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) )
86		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( S e. NN0 -> S e. RR )
87	86	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) -> S e. RR )
88		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. NN0 -> x e. RR )
89	88	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) -> x e. RR )
90	87, 89	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) /\ ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) ) -> ( x e. RR /\ S e. RR ) )
91		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N e. RR )
92	91, 91	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ N e. RR ) )
93	92	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N e. RR /\ N e. RR ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) /\ ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) ) -> ( N e. RR /\ N e. RR ) )
95	90, 94	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) /\ ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) ) -> ( ( x e. RR /\ S e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) )
96		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) /\ ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) ) -> x <_ N )
97		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( S < N -> S <_ N ) )
98	86, 91, 97	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S < N -> S <_ N ) )
99	98	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) -> S <_ N )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) /\ ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) ) -> S <_ N )
101	95, 96, 100	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S e. NN0 /\ N e. NN /\ S < N ) /\ ( x e. NN0 /\ N e. NN0 /\ x <_ N ) ) -> ( ( ( x e. RR /\ S e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( x <_ N /\ S <_ N ) ) )
102	84, 85, 101	syl2anb 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( x e. RR /\ S e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( x <_ N /\ S <_ N ) ) )
103		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. RR /\ S e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( x <_ N /\ S <_ N ) -> ( x + S ) <_ ( N + N ) ) )
104	103	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( x e. RR /\ S e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( x <_ N /\ S <_ N ) ) -> ( x + S ) <_ ( N + N ) )
105	102, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( x + S ) <_ ( N + N ) )
106	66, 65, 65	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x + S ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) )
107	106	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ZZ -> ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( x + S ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) ) )
108	107, 26	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( S e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( 0 ... N ) -> ( ( x + S ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) ) )
109	29, 46, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> ( x e. ( 0 ... N ) -> ( ( x + S ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) ) )
110	109	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( x + S ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) )
111		lesubadd 10500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x + S ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( x + S ) - N ) <_ N <-> ( x + S ) <_ ( N + N ) ) )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( x + S ) - N ) <_ N <-> ( x + S ) <_ ( N + N ) ) )
113	105, 112	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( x + S ) - N ) <_ N )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) - N ) <_ N )
115	114, 22	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) - N ) <_ ( # ` F ) )
116	82, 83, 115	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. ( 0..^ N ) /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( ( x + S ) - N ) <_ ( # ` F ) ) )
117	15, 116	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( ( x + S ) - N ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( ( x + S ) - N ) <_ ( # ` F ) ) )
118		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x + S ) - N ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> ( ( ( x + S ) - N ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( ( x + S ) - N ) <_ ( # ` F ) ) )
119	117, 118	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) - N ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
120	119	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( ( x + S ) - N ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
121	45, 120	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) /\ -. x <_ ( N - S ) ) -> ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) e. V )
122	44, 121	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) e. V )
123	122	exp32 631	. . . . . . . . 9 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ph -> ( x e. ( 0 ... N ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) e. V ) ) )
124	13, 123	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( ph -> ( x e. ( 0 ... N ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) e. V ) ) )
125	11, 124	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 ... N ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) e. V ) )
126	125	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 ... N ) ) -> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) e. V )
127		crctcsh.q	. . . . . 6 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
128	126, 127	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> Q : ( 0 ... N ) --> V )
129	12, 4, 2, 22, 15, 1	crctcshlem2 26710	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` H ) = N )
130	129	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( # ` H ) ) = ( 0 ... N ) )
131	130	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q : ( 0 ... ( # ` H ) ) --> V <-> Q : ( 0 ... N ) --> V ) )
132	128, 131	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... ( # ` H ) ) --> V )
133	132	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> Q : ( 0 ... ( # ` H ) ) --> V )
134	12, 4	wlkprop 26507	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) )
135	2, 3, 134	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) )
136	135	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) )
137	22	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` F ) = N
138	137	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N )
139	138	raleqi 3142	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) <-> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )
140		fzo1fzo0n0 12518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. ( 1..^ N ) <-> ( S e. ( 0..^ N ) /\ S =/= 0 ) )
141	140	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> ( S =/= 0 -> S e. ( 1..^ N ) ) )
142	15, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S =/= 0 -> S e. ( 1..^ N ) ) )
143	142	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> S e. ( 1..^ N ) )
144	143	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> S e. ( 1..^ N ) )
145		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> F e. Word dom I )
146		wkslem1 26503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
147	146	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) <-> A. k e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) )
148	147	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> A. k e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) )
149	148	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> A. k e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) )
150		crctprop 26687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F (Circuits ` G ) P -> ( F (Trails ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) )
151	137	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P ` ( # ` F ) ) = ( P ` N )
152	151	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) <-> ( P ` 0 ) = ( P ` N ) )
153	152	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` N ) )
154	153	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
155	154	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F (Trails ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
156	2, 150, 155	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
157	156	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
159	144, 127, 1, 22, 145, 149, 158	crctcshwlkn0lem7 26708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
160	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` H ) ) = ( 0..^ N ) )
161	160	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
162	161	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
164	159, 163	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
165	164	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
166	139, 165	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) /\ ( ph /\ S =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
167	166	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) -> ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) ) )
168	167	com23 86	. . . . 5 |- ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) -> ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) ) )
169	168	3impia 1261	. . . 4 |- ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) ) -> ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
170	136, 169	mpcom 38	. . 3 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
171	10, 133, 170	3jca 1242	. 2 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> ( H e. Word dom I /\ Q : ( 0 ... ( # ` H ) ) --> V /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
172	12, 4, 2, 22, 15, 1, 127	crctcshlem3 26711	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. _V /\ H e. _V /\ Q e. _V ) )
173	172	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> ( G e. _V /\ H e. _V /\ Q e. _V ) )
174	12, 4	iswlk 26506	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ H e. _V /\ Q e. _V ) -> ( H (Walks ` G ) Q <-> ( H e. Word dom I /\ Q : ( 0 ... ( # ` H ) ) --> V /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) ) )
175	173, 174	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> ( H (Walks ` G ) Q <-> ( H e. Word dom I /\ Q : ( 0 ... ( # ` H ) ) --> V /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` H ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) ) )
176	171, 175	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ S =/= 0 ) -> H (Walks ` G ) Q )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384  if-wif 1012   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492  Trailsctrls 26587  Circuitsccrcts 26679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-crcts 26681

This theorem is referenced by:  crctcshwlk  26714