Theorem crctcshwlkn0lem6 26707

Description: Lemma for crctcshwlkn0 26713. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	|- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
crctcshwlkn0lem.q	|- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
crctcshwlkn0lem.h	|- H = ( F cyclShift S )
crctcshwlkn0lem.n	|- N = ( # ` F )
crctcshwlkn0lem.f	|- ( ph -> F e. Word A )
crctcshwlkn0lem.p	|- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )
crctcshwlkn0lem.e	|- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem6	|- ( ( ph /\ J = ( N - S ) ) -> if- ( ( Q ` J ) = ( Q ` ( J + 1 ) ) , ( I ` ( H ` J ) ) = { ( Q ` J ) } , { ( Q ` J ) , ( Q ` ( J + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` J ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, N   x, P   x, S   ph, x   i, F   i, I   i, N   P, i   S, i   ph, i

Allowed substitution hints:   A( x, i)   Q( x, i)   F( x)   H( x, i)   I( x)   J( i)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
2		0p1e1 11132	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = 1 )
4		wkslem2 26504	. . . . . . . 8 |- ( ( i = 0 /\ ( i + 1 ) = 1 ) -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) } , { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) ) )
5	3, 4	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( i = 0 -> (if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) <-> if- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) } , { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) ) )
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
8		elfzo1 12517	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 1..^ N ) <-> ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) )
9		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> N e. NN )
10	8, 9	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> N e. NN )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
12		lbfzo0 12507	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
13	11, 12	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ N ) )
14	5, 6, 13	rspcdva 3316	. . . . . 6 |- ( ph -> if- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) } , { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) )
15		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
16		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` N ) = ( P ` 0 ) -> ( ( P ` N ) = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 0 ) = ( P ` 1 ) ) )
17		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` N ) = ( P ` 0 ) -> { ( P ` N ) } = { ( P ` 0 ) } )
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` N ) = ( P ` 0 ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } <-> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) } ) )
19		preq1 4268	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` N ) = ( P ` 0 ) -> { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
20	19	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` N ) = ( P ` 0 ) -> ( { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) )
21	16, 18, 20	ifpbi123d 1027	. . . . . . 7 |- ( ( P ` N ) = ( P ` 0 ) -> (if- ( ( P ` N ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } , { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) <-> if- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) } , { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) ) )
22	15, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (if- ( ( P ` N ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } , { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) <-> if- ( ( P ` 0 ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) } , { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) ) )
23	14, 22	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> if- ( ( P ` N ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } , { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) )
24		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
25		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. NN -> S e. CC )
26		npcan 10290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( N - S ) + S ) = N )
27	24, 25, 26	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N - S ) + S ) = N )
28		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( N - S ) + S ) = N ) -> ( ( N - S ) + S ) = N )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N - S ) + S ) = N -> ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = ( N mod ( # ` F ) ) )
30		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( # ` F )
31	30	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` F ) = N
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( # ` F ) = N )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N mod ( # ` F ) ) = ( N mod N ) )
34		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
35		modid0 12696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR+ -> ( N mod N ) = 0 )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N mod N ) = 0 )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N mod N ) = 0 )
38	33, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N mod ( # ` F ) ) = 0 )
39	29, 38	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( N - S ) + S ) = N ) -> ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 )
40		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( N - S ) + S ) = N ) -> ( S e. NN /\ N e. NN ) )
41	28, 39, 40	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( N - S ) + S ) = N ) -> ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) )
42	27, 41	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) )
43	42	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) )
44	8, 43	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) )
45		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( N - S ) + S ) = N )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` N ) )
47	46	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) <-> ( P ` N ) = ( P ` 1 ) ) )
48		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) = ( F ` 0 ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = ( I ` ( F ` 0 ) ) )
51	46	sneqd 4189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } = { ( P ` N ) } )
52	50, 51	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } <-> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } ) )
53	46	preq1d 4274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } )
54	53, 50	sseq12d 3634	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) <-> { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) )
55	47, 52, 54	ifpbi123d 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N - S ) + S ) = N /\ ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) = 0 /\ ( S e. NN /\ N e. NN ) ) -> (if- ( ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } , { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` N ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } , { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) ) )
56	7, 44, 55	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> (if- ( ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } , { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` N ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` N ) } , { ( P ` N ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` 0 ) ) ) ) )
57	23, 56	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> if- ( ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } , { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) ) )
58		nnsub 11059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( S < N <-> ( N - S ) e. NN ) )
59	58	biimp3a 1432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - S ) e. NN )
60	59	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - S ) e. NN0 )
61	8, 60	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( N - S ) e. NN0 )
62	7, 61	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - S ) e. NN0 )
63		nn0fz0 12437	. . . . . . 7 |- ( ( N - S ) e. NN0 <-> ( N - S ) e. ( 0 ... ( N - S ) ) )
64	62, 63	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - S ) e. ( 0 ... ( N - S ) ) )
65		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . . 7 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
66	7, 65	crctcshwlkn0lem2 26703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N - S ) e. ( 0 ... ( N - S ) ) ) -> ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) )
67	64, 66	mpdan 702	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) )
68		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> N e. ZZ )
69		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. ZZ )
70	68, 69	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( N - S ) e. ZZ )
71	70	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ )
72		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. RR )
73	72	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ S e. NN ) -> ( N e. RR /\ S e. NN ) )
74	73	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ S e. NN ) )
75		crctcshwlkn0lem1 26702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ S e. NN ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
77	76	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
78	8, 77	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
79	71, 68, 78	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( N - S ) + 1 ) <_ N ) )
80	7, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( N - S ) + 1 ) <_ N ) )
81		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - S ) + 1 ) ) <-> ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( N - S ) + 1 ) <_ N ) )
82	80, 81	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - S ) + 1 ) ) )
83		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - S ) + 1 ) ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) )
85	7, 65	crctcshwlkn0lem3 26704	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( N - S ) + 1 ) e. ( ( ( N - S ) + 1 ) ... N ) ) -> ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) ) )
86	84, 85	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) ) )
87		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ S e. CC ) -> ( N - S ) e. CC )
88	87	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> ( N - S ) e. CC )
89		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
90		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N - S ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) - ( N - S ) ) = 1 )
91	90	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N - S ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> 1 = ( ( ( N - S ) + 1 ) - ( N - S ) ) )
92	88, 89, 91	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> 1 = ( ( ( N - S ) + 1 ) - ( N - S ) ) )
93		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N - S ) e. CC -> ( ( N - S ) + 1 ) e. CC )
94	88, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. CC )
95		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> N e. CC )
96		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> S e. CC )
97	94, 95, 96	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( N - S ) + 1 ) - ( N - S ) ) = ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) )
98	92, 97	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) = 1 )
99	25, 24, 98	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) = 1 )
100	99	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) = 1 )
101	8, 100	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) = 1 )
102	7, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) = 1 )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P ` ( ( ( ( N - S ) + 1 ) + S ) - N ) ) = ( P ` 1 ) )
104	86, 103	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
105		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 |- H = ( F cyclShift S )
106	105	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( H ` ( N - S ) ) = ( ( F cyclShift S ) ` ( N - S ) )
107		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. Word A )
108	107	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> F e. Word A )
109	69	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> S e. ZZ )
110		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> S e. ( 1 ... N ) )
111		ubmelfzo 12532	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 1 ... N ) -> ( N - S ) e. ( 0..^ N ) )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( N - S ) e. ( 0..^ N ) )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( N - S ) e. ( 0..^ N ) )
114	31	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N )
115	113, 114	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( N - S ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
116		cshwidxmod 13549	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Word A /\ S e. ZZ /\ ( N - S ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F cyclShift S ) ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
117	108, 109, 115, 116	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( F cyclShift S ) ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
118	7, 117	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F cyclShift S ) ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
119	106, 118	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
120		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) )
121		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
122	120, 121	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) <-> ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) ) )
123		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) )
125	120	sneqd 4189	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> { ( Q ` ( N - S ) ) } = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } )
126	124, 125	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } <-> ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } ) )
127	120, 121	preq12d 4276	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } )
128	127, 124	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> ( { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) <-> { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) ) )
129	122, 126, 128	ifpbi123d 1027	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) /\ ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( P ` 1 ) /\ ( H ` ( N - S ) ) = ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) -> (if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } , { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) ) ) )
130	67, 104, 119, 129	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> (if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) <-> if- ( ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) = ( P ` 1 ) , ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) = { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) } , { ( P ` ( ( N - S ) + S ) ) , ( P ` 1 ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( ( N - S ) + S ) mod ( # ` F ) ) ) ) ) ) )
131	57, 130	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) )
132	131	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ J = ( N - S ) ) -> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) )
133		wkslem1 26503	. . 3 |- ( J = ( N - S ) -> (if- ( ( Q ` J ) = ( Q ` ( J + 1 ) ) , ( I ` ( H ` J ) ) = { ( Q ` J ) } , { ( Q ` J ) , ( Q ` ( J + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` J ) ) ) <-> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) ) )
134	133	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ J = ( N - S ) ) -> (if- ( ( Q ` J ) = ( Q ` ( J + 1 ) ) , ( I ` ( H ` J ) ) = { ( Q ` J ) } , { ( Q ` J ) , ( Q ` ( J + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` J ) ) ) <-> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) ) )
135	132, 134	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ J = ( N - S ) ) -> if- ( ( Q ` J ) = ( Q ` ( J + 1 ) ) , ( I ` ( H ` J ) ) = { ( Q ` J ) } , { ( Q ` J ) , ( Q ` ( J + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` J ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384  if-wif 1012   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  26708