Theorem dec5nprm 15770

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	|- A e. NN

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	|- -. ; A 5 e. Prime

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . 4 |- 2 e. NN
2		dec5nprm.1	. . . 4 |- A e. NN
3	1, 2	nnmulcli 11044	. . 3 |- ( 2 x. A ) e. NN
4		peano2nn 11032	. . 3 |- ( ( 2 x. A ) e. NN -> ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. NN
6		5nn 11188	. 2 |- 5 e. NN
7		1nn0 11308	. . 3 |- 1 e. NN0
8		1lt2 11194	. . 3 |- 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 11545	. 2 |- 1 < ( ( 2 x. A ) + 1 )
10		1lt5 11203	. 2 |- 1 < 5
11	1	nncni 11030	. . . . . 6 |- 2 e. CC
12	2	nncni 11030	. . . . . 6 |- A e. CC
13		5cn 11100	. . . . . 6 |- 5 e. CC
14	11, 12, 13	mul32i 10232	. . . . 5 |- ( ( 2 x. A ) x. 5 ) = ( ( 2 x. 5 ) x. A )
15		5t2e10 11634	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
16	13, 11, 15	mulcomli 10047	. . . . . 6 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
17	16	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 5 ) x. A ) = (; 1 0 x. A )
18	14, 17	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 2 x. A ) x. 5 ) = (; 1 0 x. A )
19	13	mulid2i 10043	. . . 4 |- ( 1 x. 5 ) = 5
20	18, 19	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) x. 5 ) + ( 1 x. 5 ) ) = ( (; 1 0 x. A ) + 5 )
21	3	nncni 11030	. . . 4 |- ( 2 x. A ) e. CC
22		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
23	21, 22, 13	adddiri 10051	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) x. 5 ) = ( ( ( 2 x. A ) x. 5 ) + ( 1 x. 5 ) )
24		dfdec10 11497	. . 3 |- ; A 5 = ( (; 1 0 x. A ) + 5 )
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2654	. 2 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) x. 5 ) = ; A 5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 15402	1 |- -. ; A 5 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NNcn 11020   2c2 11070   5c5 11073  ;cdc 11493   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by: (None)