Theorem distrlem4pr 9848

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem4pr	|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, f, A   x, B, y, z, f   x, C, y, z, f

Proof of Theorem distrlem4pr

Dummy variables w v u g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> B e. P. )
2		simprlr 803	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> y e. B )
3		elprnq 9813	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ y e. B ) -> y e. Q. )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> y e. Q. )
5		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> A e. P. )
6		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) -> f e. A )
7		elprnq 9813	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> f e. Q. )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> f e. Q. )
9		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> C e. P. )
10		simprrr 805	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> z e. C )
11		elprnq 9813	. . . . 5 |- ( ( C e. P. /\ z e. C ) -> z e. Q. )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> z e. Q. )
13		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
14		vex 3203	. . . . . 6 |- f e. _V
15		ltmnq 9794	. . . . . 6 |- ( u e. Q. -> ( w <Q v <-> ( u .Q w ) <Q ( u .Q v ) ) )
16		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
17		mulcomnq 9775	. . . . . 6 |- ( w .Q v ) = ( v .Q w )
18	13, 14, 15, 16, 17	caovord2 6846	. . . . 5 |- ( y e. Q. -> ( x <Q f <-> ( x .Q y ) <Q ( f .Q y ) ) )
19		mulclnq 9769	. . . . . 6 |- ( ( f e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( f .Q z ) e. Q. )
20		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( x .Q y ) e. _V
21		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( f .Q y ) e. _V
22		ltanq 9793	. . . . . . 7 |- ( u e. Q. -> ( w <Q v <-> ( u +Q w ) <Q ( u +Q v ) ) )
23		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( f .Q z ) e. _V
24		addcomnq 9773	. . . . . . 7 |- ( w +Q v ) = ( v +Q w )
25	20, 21, 22, 23, 24	caovord2 6846	. . . . . 6 |- ( ( f .Q z ) e. Q. -> ( ( x .Q y ) <Q ( f .Q y ) <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) ) )
26	19, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ( f e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x .Q y ) <Q ( f .Q y ) <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) ) )
27	18, 26	sylan9bb 736	. . . 4 |- ( ( y e. Q. /\ ( f e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( x <Q f <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) ) )
28	4, 8, 12, 27	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( x <Q f <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) ) )
29		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> A e. P. )
30		addclpr 9840	. . . . . . 7 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
31	30	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
32	31	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( B +P. C ) e. P. )
33		mulclpr 9842	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) e. P. )
34	29, 32, 33	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) e. P. )
35		distrnq 9783	. . . . 5 |- ( f .Q ( y +Q z ) ) = ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) )
36		simprrl 804	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> f e. A )
37		df-plp 9805	. . . . . . . . 9 |- +P. = ( u e. P. , v e. P. |-> { w | E. g e. u E. h e. v w = ( g +Q h ) } )
38		addclnq 9767	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
39	37, 38	genpprecl 9823	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) ) )
40	39	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) )
41	1, 9, 2, 10, 40	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) )
42		df-mp 9806	. . . . . . . 8 |- .P. = ( u e. P. , v e. P. |-> { w | E. g e. u E. h e. v w = ( g .Q h ) } )
43		mulclnq 9769	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g .Q h ) e. Q. )
44	42, 43	genpprecl 9823	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( ( f e. A /\ ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) ) -> ( f .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
45	44	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) /\ ( f e. A /\ ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) ) ) -> ( f .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )
46	29, 32, 36, 41, 45	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( f .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )
47	35, 46	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )
48		prcdnq 9815	. . . 4 |- ( ( ( A .P. ( B +P. C ) ) e. P. /\ ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) -> ( ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
49	34, 47, 48	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( f .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
50	28, 49	sylbid 230	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( x <Q f -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
51		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) -> x e. A )
52		elprnq 9813	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. A ) -> x e. Q. )
53	5, 51, 52	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> x e. Q. )
54		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
55	14, 13, 15, 54, 17	caovord2 6846	. . . . 5 |- ( z e. Q. -> ( f <Q x <-> ( f .Q z ) <Q ( x .Q z ) ) )
56		mulclnq 9769	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x .Q y ) e. Q. )
57		ltanq 9793	. . . . . 6 |- ( ( x .Q y ) e. Q. -> ( ( f .Q z ) <Q ( x .Q z ) <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( f .Q z ) <Q ( x .Q z ) <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) ) )
59	55, 58	sylan9bbr 737	. . . 4 |- ( ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ z e. Q. ) -> ( f <Q x <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) ) )
60	53, 4, 12, 59	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( f <Q x <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) ) )
61		distrnq 9783	. . . . 5 |- ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) )
62		simprll 802	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> x e. A )
63	42, 43	genpprecl 9823	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( ( x e. A /\ ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) ) -> ( x .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) /\ ( x e. A /\ ( y +Q z ) e. ( B +P. C ) ) ) -> ( x .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )
65	29, 32, 62, 41, 64	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( x .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )
66	61, 65	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )
67		prcdnq 9815	. . . 4 |- ( ( ( A .P. ( B +P. C ) ) e. P. /\ ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) -> ( ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
68	34, 66, 67	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) <Q ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
69	60, 68	sylbid 230	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( f <Q x -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
70		ltsonq 9791	. . . . 5 |- <Q Or Q.
71		sotrieq 5062	. . . . 5 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( x e. Q. /\ f e. Q. ) ) -> ( x = f <-> -. ( x <Q f \/ f <Q x ) ) )
72	70, 71	mpan 706	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x = f <-> -. ( x <Q f \/ f <Q x ) ) )
73	53, 8, 72	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( x = f <-> -. ( x <Q f \/ f <Q x ) ) )
74		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( x .Q z ) = ( f .Q z ) )
75	74	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) )
76	61, 75	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( x = f -> ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) )
77	76	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = f -> ( ( x .Q ( y +Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
78	65, 77	syl5ibcom 235	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( x = f -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
79	73, 78	sylbird 250	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( -. ( x <Q f \/ f <Q x ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) ) )
80	50, 69, 79	ecase3d 984	1 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( f e. A /\ z e. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( f .Q z ) ) e. ( A .P. ( B +P. C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   Or wor 5034  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   +Q cplq 9677   .Q cmq 9678   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   +P. cpp 9683   .P. cmp 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805  df-mp 9806

This theorem is referenced by:  distrlem5pr  9849