Theorem dpadd3 29620

Description: Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpmul.a	|- A e. NN0
dpmul.b	|- B e. NN0
dpmul.c	|- C e. NN0
dpmul.d	|- D e. NN0
dpmul.e	|- E e. NN0
dpmul.g	|- G e. NN0
dpadd3.f	|- F e. NN0
dpadd3.h	|- H e. NN0
dpadd3.i	|- I e. NN0
dpadd3.1	|- (;; A B C + ;; D E F ) = ;; G H I

Assertion

Ref	Expression
dpadd3	|- ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) = ( G period_ H I )

Proof of Theorem dpadd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpmul.a	. . . . . 6 |- A e. NN0
2		dpmul.b	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 11303	. . . . . . 7 |- B e. RR
4		dpmul.c	. . . . . . . 8 |- C e. NN0
5	4	nn0rei 11303	. . . . . . 7 |- C e. RR
6		dp2cl 29587	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> _ B C e. RR )
7	3, 5, 6	mp2an 708	. . . . . 6 |- _ B C e. RR
8		dpcl 29598	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ _ B C e. RR ) -> ( A period_ B C ) e. RR )
9	1, 7, 8	mp2an 708	. . . . 5 |- ( A period_ B C ) e. RR
10	9	recni 10052	. . . 4 |- ( A period_ B C ) e. CC
11		dpmul.d	. . . . . 6 |- D e. NN0
12		dpmul.e	. . . . . . . 8 |- E e. NN0
13	12	nn0rei 11303	. . . . . . 7 |- E e. RR
14		dpadd3.f	. . . . . . . 8 |- F e. NN0
15	14	nn0rei 11303	. . . . . . 7 |- F e. RR
16		dp2cl 29587	. . . . . . 7 |- ( ( E e. RR /\ F e. RR ) -> _ E F e. RR )
17	13, 15, 16	mp2an 708	. . . . . 6 |- _ E F e. RR
18		dpcl 29598	. . . . . 6 |- ( ( D e. NN0 /\ _ E F e. RR ) -> ( D period_ E F ) e. RR )
19	11, 17, 18	mp2an 708	. . . . 5 |- ( D period_ E F ) e. RR
20	19	recni 10052	. . . 4 |- ( D period_ E F ) e. CC
21	10, 20	addcli 10044	. . 3 |- ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) e. CC
22		dpmul.g	. . . . 5 |- G e. NN0
23		dpadd3.h	. . . . . . 7 |- H e. NN0
24	23	nn0rei 11303	. . . . . 6 |- H e. RR
25		dpadd3.i	. . . . . . 7 |- I e. NN0
26	25	nn0rei 11303	. . . . . 6 |- I e. RR
27		dp2cl 29587	. . . . . 6 |- ( ( H e. RR /\ I e. RR ) -> _ H I e. RR )
28	24, 26, 27	mp2an 708	. . . . 5 |- _ H I e. RR
29		dpcl 29598	. . . . 5 |- ( ( G e. NN0 /\ _ H I e. RR ) -> ( G period_ H I ) e. RR )
30	22, 28, 29	mp2an 708	. . . 4 |- ( G period_ H I ) e. RR
31	30	recni 10052	. . 3 |- ( G period_ H I ) e. CC
32		10nn 11514	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN
33	32	decnncl2 11525	. . . . 5 |- ;; 1 0 0 e. NN
34	33	nncni 11030	. . . 4 |- ;; 1 0 0 e. CC
35	33	nnne0i 11055	. . . 4 |- ;; 1 0 0 =/= 0
36	34, 35	pm3.2i 471	. . 3 |- (;; 1 0 0 e. CC /\ ;; 1 0 0 =/= 0 )
37	21, 31, 36	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) e. CC /\ ( G period_ H I ) e. CC /\ (;; 1 0 0 e. CC /\ ;; 1 0 0 =/= 0 ) )
38	10, 20, 34	adddiri 10051	. . 3 |- ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) x. ;; 1 0 0 ) = ( ( ( A period_ B C ) x. ;; 1 0 0 ) + ( ( D period_ E F ) x. ;; 1 0 0 ) )
39		dpadd3.1	. . . 4 |- (;; A B C + ;; D E F ) = ;; G H I
40	1, 2, 5	dpmul100 29605	. . . . 5 |- ( ( A period_ B C ) x. ;; 1 0 0 ) = ;; A B C
41	11, 12, 15	dpmul100 29605	. . . . 5 |- ( ( D period_ E F ) x. ;; 1 0 0 ) = ;; D E F
42	40, 41	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( ( ( A period_ B C ) x. ;; 1 0 0 ) + ( ( D period_ E F ) x. ;; 1 0 0 ) ) = (;; A B C + ;; D E F )
43	22, 23, 26	dpmul100 29605	. . . 4 |- ( ( G period_ H I ) x. ;; 1 0 0 ) = ;; G H I
44	39, 42, 43	3eqtr4i 2654	. . 3 |- ( ( ( A period_ B C ) x. ;; 1 0 0 ) + ( ( D period_ E F ) x. ;; 1 0 0 ) ) = ( ( G period_ H I ) x. ;; 1 0 0 )
45	38, 44	eqtri 2644	. 2 |- ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) x. ;; 1 0 0 ) = ( ( G period_ H I ) x. ;; 1 0 0 )
46		mulcan2 10665	. . 3 |- ( ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) e. CC /\ ( G period_ H I ) e. CC /\ (;; 1 0 0 e. CC /\ ;; 1 0 0 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) x. ;; 1 0 0 ) = ( ( G period_ H I ) x. ;; 1 0 0 ) <-> ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) = ( G period_ H I ) ) )
47	46	biimpa 501	. 2 |- ( ( ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) e. CC /\ ( G period_ H I ) e. CC /\ (;; 1 0 0 e. CC /\ ;; 1 0 0 =/= 0 ) ) /\ ( ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) x. ;; 1 0 0 ) = ( ( G period_ H I ) x. ;; 1 0 0 ) ) -> ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) = ( G period_ H I ) )
48	37, 45, 47	mp2an 708	1 |- ( ( A period_ B C ) + ( D period_ E F ) ) = ( G period_ H I )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292  ;cdc 11493  _cdp2 29577   periodcdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by:  1mhdrd  29624  hgt750lem2  30730