Theorem eldmgm 24748

Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldmgm	|- ( A e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) <-> ( A e. CC /\ -. -u A e. NN0 ) )

Proof of Theorem eldmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. 2 |- ( A e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) <-> ( A e. CC /\ -. A e. ( ZZ \ NN ) ) )
2		eldif 3584	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ \ NN ) <-> ( A e. ZZ /\ -. A e. NN ) )
3		elznn 11393	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ <-> ( A e. RR /\ ( A e. NN \/ -u A e. NN0 ) ) )
4	3	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN \/ -u A e. NN0 ) )
5	4	orcanai 952	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ -. A e. NN ) -> -u A e. NN0 )
6		negneg 10331	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ -u A e. NN0 ) -> -u -u A = A )
8		nn0negz 11415	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. NN0 -> -u -u A e. ZZ )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ -u A e. NN0 ) -> -u -u A e. ZZ )
10	7, 9	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ -u A e. NN0 ) -> A e. ZZ )
11	10	ex 450	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( -u A e. NN0 -> A e. ZZ ) )
12		nngt0 11049	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> 0 < A )
13		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. RR )
14	13	lt0neg2d 10598	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( 0 < A <-> -u A < 0 ) )
15	12, 14	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> -u A < 0 )
16	13	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> -u A e. RR )
17		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
18		ltnle 10117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u A < 0 <-> -. 0 <_ -u A ) )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( -u A < 0 <-> -. 0 <_ -u A ) )
20	15, 19	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> -. 0 <_ -u A )
21		nn0ge0 11318	. . . . . . . . 9 |- ( -u A e. NN0 -> 0 <_ -u A )
22	20, 21	nsyl3 133	. . . . . . . 8 |- ( -u A e. NN0 -> -. A e. NN )
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( -u A e. NN0 -> -. A e. NN ) )
24	11, 23	jcad 555	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( -u A e. NN0 -> ( A e. ZZ /\ -. A e. NN ) ) )
25	5, 24	impbid2 216	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( A e. ZZ /\ -. A e. NN ) <-> -u A e. NN0 ) )
26	2, 25	syl5bb 272	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. ( ZZ \ NN ) <-> -u A e. NN0 ) )
27	26	notbid 308	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -. A e. ( ZZ \ NN ) <-> -. -u A e. NN0 ) )
28	27	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( A e. CC /\ -. A e. ( ZZ \ NN ) ) <-> ( A e. CC /\ -. -u A e. NN0 ) )
29	1, 28	bitri 264	1 |- ( A e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) <-> ( A e. CC /\ -. -u A e. NN0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  24749  dmlogdmgm  24750  dmgmaddnn0  24753  lgamgulmlem1  24755  lgamucov  24764