Theorem elnnne0 11306

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 11305	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( N e. NN <-> N e. ( NN0 \ { 0 } ) )
3		eldifsn 4317	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
4	2, 3	bitri 264	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  11358  nn0nndivcl  11362  fzo1fzo0n0  12518  elfznelfzo  12573  hashnn0n0nn  13180  swrdccatin1  13483  cshwsublen  13542  cshwidxmod  13549  cshwidx0  13552  repswcshw  13558  cshw1  13568  odhash3  17991  0ringnnzr  19269  cply1mul  19664  fvmptnn04if  20654  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  tayl0  24116  dvtaylp  24124  wlkonl1iedg  26561  pthdlem2  26664  crctcsh  26716  isclwwlksnx  26889  hashecclwwlksn1  26954  umgrhashecclwwlk  26955  frgrreg  27252  frgrregord013  27253  2sqmod  29648  plymulx0  30624  plymulx  30625  signstfvn  30646  signstfveq0a  30653  poimirlem13  33422  poimirlem20  33429  dvnmul  40158  dvnprodlem3  40163  wallispilem3  40284  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  etransclem28  40479  etransclem35  40486  etransclem38  40489  etransclem44  40495  2ffzoeq  41338  lswn0  41380  ztprmneprm  42125