Theorem eq0rabdioph 37340

Description: This is the first of a number of theorems which allow sets to be proven Diophantine by syntactic induction, and models the correspondence between Diophantine sets and monotone existential first-order logic. This first theorem shows that the zero set of an implicit polynomial is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eq0rabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable group:   t, N

Allowed substitution hint:   A( t)

Proof of Theorem eq0rabdioph

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ t N e. NN0
2		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A )
3	2	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) )
4	1, 3	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) )
5		zex 11386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. _V
6		nn0ssz 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 C_ ZZ
7		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ZZ e. _V /\ NN0 C_ ZZ ) -> ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) )
8	5, 6, 7	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( ZZ ^m ( 1 ... N ) )
9	8	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) )
11		mzpf 37299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
12		mptfcl 37283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) -> A e. ZZ ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ /\ t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ )
14	11, 9, 13	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ )
15	14	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) = ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A )
17	16	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = A )
18	10, 15, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = A )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A = ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) )
21	20	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) ) )
22	4, 21	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) )
23		rabbi 3120	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 ) <-> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 } )
24	22, 23	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 } )
25		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ t ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
26		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
27		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ a ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0
28		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ t ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a )
29	28	nfeq1 2778	. . . . . 6 |- F/ t ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0
30		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( t = a -> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) )
31	30	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( t = a -> ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) )
32	25, 26, 27, 29, 31	cbvrab 3198	. . . . 5 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` t ) = 0 } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 }
33	24, 32	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 } )
34		df-rab 2921	. . . 4 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) }
35	33, 34	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) } )
36		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> b : ( 1 ... N ) --> NN0 )
37		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( b : ( 1 ... N ) --> NN0 -> b Fn ( 1 ... N ) )
38		fnresdm 6000	. . . . . . . . . 10 |- ( b Fn ( 1 ... N ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = b )
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = b )
40	39	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> a = b ) )
41		equcom 1945	. . . . . . . 8 |- ( a = b <-> b = a )
42	40, 41	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> b = a ) )
43	42	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) <-> ( b = a /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) ) )
44	43	rexbiia 3040	. . . . 5 |- ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( b = a /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( b = a -> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( b = a -> ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 <-> ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) )
47	46	ceqsrexbv 3337	. . . . 5 |- ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( b = a /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) )
48	44, 47	bitr2i 265	. . . 4 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) )
49	48	abbii 2739	. . 3 |- { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` a ) = 0 ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) }
50	35, 49	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } )
51		simpl 473	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
52		nn0z 11400	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
53		uzid 11702	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
54	52, 53	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
55	54	adantr 481	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
56		simpr 477	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) )
57		eldioph 37321	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` N ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
58	51, 55, 56, 57	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) ` b ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
59	50, 58	eqeltrd 2701	1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = 0 } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  eqrabdioph  37341  0dioph  37342  vdioph  37343  rmydioph  37581  expdioph  37590