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Theorem eqrabdioph 37341
Description: Diophantine set builder for equality of polynomial expressions. Note that the two expressions need not be nonnegative; only variables are so constrained. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eqrabdioph |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = B } e. (Dioph ` N ) )
Distinct variable group:   t, N
Allowed substitution hints:   A( t)   B( t)
Proof of Theorem eqrabdioph
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4747 . . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A )
21nfel1 2779 . . . . . 6 |- F/ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) )
3 nfmpt1 4747 . . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B )
43nfel1 2779 . . . . . 6 |- F/ t ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) )
52, 4nfan 1828 . . . . 5 |- F/ t ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) )
6 mzpf 37299 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
76ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
8 zex 11386 . . . . . . . . . . . . 13 |- ZZ e. _V
9 nn0ssz 11398 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 C_ ZZ
10 mapss 7900 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ZZ e. _V /\ NN0 C_ ZZ ) -> ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) )
118, 9, 10mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 |- ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( ZZ ^m ( 1 ... N ) )
1211sseli 3599 . . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) )
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) )
14 mptfcl 37283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) -> A e. ZZ ) )
157, 13, 14sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. ZZ )
1615zcnd 11483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> A e. CC )
17 mzpf 37299 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
1817ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
19 mptfcl 37283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) : ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) --> ZZ -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) -> B e. ZZ ) )
2018, 13, 19sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> B e. ZZ )
2120zcnd 11483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> B e. CC )
2216, 21subeq0ad 10402 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A - B ) = 0 <-> A = B ) )
2322bicomd 213 . . . . . 6 |- ( ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( A = B <-> ( A - B ) = 0 ) )
2423ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( A = B <-> ( A - B ) = 0 ) ) )
255, 24ralrimi 2957 . . . 4 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A = B <-> ( A - B ) = 0 ) )
26 rabbi 3120 . . . 4 |- ( A. t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ( A = B <-> ( A - B ) = 0 ) <-> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( A - B ) = 0 } )
2725, 26sylib 208 . . 3 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( A - B ) = 0 } )
28273adant1 1079 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = B } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( A - B ) = 0 } )
29 simp1 1061 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
30 mzpsubmpt 37306 . . . 4 |- ( ( ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( A - B ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) )
31303adant1 1079 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( A - B ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) )
32 eq0rabdioph 37340 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( A - B ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( A - B ) = 0 } e. (Dioph ` N ) )
3329, 31, 32syl2anc 693 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ( A - B ) = 0 } e. (Dioph ` N ) )
3428, 33eqeltrd 2701 1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> A ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) /\ ( t e. ( ZZ ^m ( 1 ... N ) ) |-> B ) e. (mzPoly ` ( 1 ... N ) ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | A = B } e. (Dioph ` N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319
This theorem is referenced by:  elnn0rabdioph  37367  dvdsrabdioph  37374  rmydioph  37581  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589  expdioph  37590
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