Theorem estrccatid 16772

Description: Lemma for estrccat 16773. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
estrccat.c	|- C = (ExtStrCat ` U )

Assertion

Ref	Expression
estrccatid	|- ( U e. V -> ( C e. Cat /\ ( Id ` C ) = ( x e. U |-> ( _I |` ( Base ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, U   x, V

Proof of Theorem estrccatid

Dummy variables f g h w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrccat.c	. . 3 |- C = (ExtStrCat ` U )
2		id 22	. . 3 |- ( U e. V -> U e. V )
3	1, 2	estrcbas 16765	. 2 |- ( U e. V -> U = ( Base ` C ) )
4		eqidd 2623	. 2 |- ( U e. V -> ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) )
5		eqidd 2623	. 2 |- ( U e. V -> (comp ` C ) = (comp ` C ) )
6		fvex 6201	. . . 4 |- (ExtStrCat ` U ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2697	. . 3 |- C e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( U e. V -> C e. _V )
9		biid 251	. 2 |- ( ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) <-> ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) )
10		f1oi 6174	. . . 4 |- ( _I |` ( Base ` x ) ) : ( Base ` x ) -1-1-onto-> ( Base ` x )
11		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( _I |` ( Base ` x ) ) : ( Base ` x ) -1-1-onto-> ( Base ` x ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) : ( Base ` x ) --> ( Base ` x ) )
12	10, 11	mp1i 13	. . 3 |- ( ( U e. V /\ x e. U ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) : ( Base ` x ) --> ( Base ` x ) )
13		simpl 473	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. U ) -> U e. V )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
15		simpr 477	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. U ) -> x e. U )
16		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` x ) = ( Base ` x )
17	1, 13, 14, 15, 15, 16, 16	elestrchom 16768	. . 3 |- ( ( U e. V /\ x e. U ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) <-> ( _I |` ( Base ` x ) ) : ( Base ` x ) --> ( Base ` x ) ) )
18	12, 17	mpbird 247	. 2 |- ( ( U e. V /\ x e. U ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
19		simpl 473	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> U e. V )
20		eqid 2622	. . . 4 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
21		simpr1l 1118	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> w e. U )
22		simpr1r 1119	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> x e. U )
23		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` w ) = ( Base ` w )
24		simpr31 1151	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> f e. ( w ( Hom ` C ) x ) )
25	1, 19, 14, 21, 22, 23, 16	elestrchom 16768	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) <-> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) )
26	24, 25	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) )
27	10, 11	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) : ( Base ` x ) --> ( Base ` x ) )
28	1, 19, 20, 21, 22, 22, 23, 16, 16, 26, 27	estrcco 16770	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) ( <. w , x >. (comp ` C ) x ) f ) = ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) )
29		fcoi2 6079	. . . 4 |- ( f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f )
30	26, 29	syl 17	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f )
31	28, 30	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) ( <. w , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f )
32		simpr2l 1120	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> y e. U )
33		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` y ) = ( Base ` y )
34		simpr32 1152	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> g e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
35	1, 19, 14, 22, 32, 16, 33	elestrchom 16768	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) <-> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) )
36	34, 35	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) )
37	1, 19, 20, 22, 22, 32, 16, 16, 33, 27, 36	estrcco 16770	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) )
38		fcoi1 6078	. . . 4 |- ( g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) -> ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
39	36, 38	syl 17	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
40	37, 39	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
41	1, 19, 20, 21, 22, 32, 23, 16, 33, 26, 36	estrcco 16770	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) = ( g o. f ) )
42		fco 6058	. . . . 5 |- ( ( g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) /\ f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) -> ( g o. f ) : ( Base ` w ) --> ( Base ` y ) )
43	36, 26, 42	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g o. f ) : ( Base ` w ) --> ( Base ` y ) )
44	1, 19, 14, 21, 32, 23, 33	elestrchom 16768	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( g o. f ) e. ( w ( Hom ` C ) y ) <-> ( g o. f ) : ( Base ` w ) --> ( Base ` y ) ) )
45	43, 44	mpbird 247	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( w ( Hom ` C ) y ) )
46	41, 45	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) e. ( w ( Hom ` C ) y ) )
47		coass 5654	. . . 4 |- ( ( h o. g ) o. f ) = ( h o. ( g o. f ) )
48		simpr2r 1121	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> z e. U )
49		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` z ) = ( Base ` z )
50		simpr33 1153	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> h e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
51	1, 19, 14, 32, 48, 33, 49	elestrchom 16768	. . . . . . 7 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) <-> h : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) )
52	50, 51	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> h : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) )
53		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( h : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) /\ g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) -> ( h o. g ) : ( Base ` x ) --> ( Base ` z ) )
54	52, 36, 53	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h o. g ) : ( Base ` x ) --> ( Base ` z ) )
55	1, 19, 20, 21, 22, 48, 23, 16, 49, 26, 54	estrcco 16770	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h o. g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( ( h o. g ) o. f ) )
56	1, 19, 20, 21, 32, 48, 23, 33, 49, 43, 52	estrcco 16770	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) = ( h o. ( g o. f ) ) )
57	47, 55, 56	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h o. g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) )
58	1, 19, 20, 22, 32, 48, 16, 33, 49, 36, 52	estrcco 16770	. . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) g ) = ( h o. g ) )
59	58	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( ( h o. g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) )
60	41	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) ) = ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) )
61	57, 59, 60	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. U /\ x e. U ) /\ ( y e. U /\ z e. U ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) ) )
62	3, 4, 5, 8, 9, 18, 31, 40, 46, 61	iscatd2 16342	1 |- ( U e. V -> ( C e. Cat /\ ( Id ` C ) = ( x e. U |-> ( _I |` ( Base ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  estrccat  16773  estrcid  16774