Theorem fargshiftf1 41377

Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	|- G = ( x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) |-> ( F ` ( x + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fargshiftf1	|- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) -> G : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )

Distinct variable groups:   x, F   x, E

Allowed substitution hints:   G( x)   N( x)

Proof of Theorem fargshiftf1

Dummy variables k l y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6101	. . 3 |- ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E -> F : ( 1 ... N ) --> dom E )
2		fargshift.g	. . . 4 |- G = ( x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) |-> ( F ` ( x + 1 ) ) )
3	2	fargshiftf 41376	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) --> dom E ) -> G : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
4	1, 3	sylan2 491	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) -> G : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
5		ffn 6045	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... N ) --> dom E -> F Fn ( 1 ... N ) )
6		fseq1hash 13165	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 1 ... N ) ) -> ( # ` F ) = N )
7	5, 6	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) --> dom E ) -> ( # ` F ) = N )
8	1, 7	sylan2 491	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) -> ( # ` F ) = N )
9		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) = N -> ( ( # ` F ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
10		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( ( # ` F ) = N -> ( 1 ... ( # ` F ) ) = ( 1 ... N ) )
11		f1eq2 6097	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( # ` F ) ) = ( 1 ... N ) -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) = N -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) )
13	9, 12	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( # ` F ) = N -> ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ F : ( 1 ... ( # ` F ) ) -1-1-> dom E ) <-> ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) ) )
14		dff13 6512	. . . . . 6 |- ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) )
15		fz0add1fz1 12537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) )
16		fz0add1fz1 12537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) )
17	15, 16	anim12dan 882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( y + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( y + 1 ) ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( y + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( F ` l ) <-> ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` l ) ) )
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( y + 1 ) -> ( k = l <-> ( y + 1 ) = l ) )
21	19, 20	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( y + 1 ) -> ( ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) <-> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` l ) -> ( y + 1 ) = l ) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = ( z + 1 ) -> ( F ` l ) = ( F ` ( z + 1 ) ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = ( z + 1 ) -> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` l ) <-> ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
24		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = ( z + 1 ) -> ( ( y + 1 ) = l <-> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) )
25	23, 24	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = ( z + 1 ) -> ( ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` l ) -> ( y + 1 ) = l ) <-> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) ) )
26	21, 25	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) -> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) -> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) ) )
28	2	fargshiftfv 41375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E ) -> ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( G ` y ) = ( F ` ( y + 1 ) ) ) )
29	28	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( G ` y ) = ( F ` ( y + 1 ) ) ) ) )
30	29	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( G ` y ) = ( F ` ( y + 1 ) ) ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( G ` y ) = ( F ` ( y + 1 ) ) ) ) )
32	31	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( G ` y ) = ( F ` ( y + 1 ) ) ) )
33	32	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) = ( F ` ( y + 1 ) ) )
34	2	fargshiftfv 41375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E ) -> ( z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( G ` z ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
35	34	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( G ` z ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) )
36	35	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( G ` z ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( G ` z ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) )
38	37	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( G ` z ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) -> ( G ` z ) = ( F ` ( z + 1 ) ) )
40	33, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
43		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> y e. ZZ )
44	43	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> y e. CC )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> y e. CC )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> y e. CC )
47		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> z e. ZZ )
48	47	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> z e. CC )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> z e. CC )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> z e. CC )
51		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> 1 e. CC )
52	46, 50, 51	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) -> ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) )
55		addcan2 10221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( y + 1 ) = ( z + 1 ) <-> y = z ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( y + 1 ) = ( z + 1 ) <-> y = z ) )
57	56	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) <-> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> y = z ) ) )
58	57	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> y = z ) )
59	42, 58	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
60	59	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
61	27, 60	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
62	61	exp31 630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) ) ) )
63	62	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E -> ( A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) -> ( ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) -> ( ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) ) )
65	64	com13 88	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) /\ ( z + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) ) )
66	17, 65	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
67	66	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) ) )
68	67	com13 88	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) /\ z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) ) )
69	68	ralrimdvv 2973	. . . . . 6 |- ( ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) A. l e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ( ( F ` k ) = ( F ` l ) -> k = l ) ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> A. y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) A. z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
70	14, 69	sylbi 207	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> A. y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) A. z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
71	70	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ F : ( 1 ... ( # ` F ) ) -1-1-> dom E ) -> A. y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) A. z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
72	13, 71	syl6bir 244	. . 3 |- ( ( # ` F ) = N -> ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) -> A. y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) A. z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
73	8, 72	mpcom 38	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) -> A. y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) A. z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
74		dff13 6512	. 2 |- ( G : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> ( G : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E /\ A. y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) A. z e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
75	4, 73, 74	sylanbrc 698	1 |- ( ( N e. NN0 /\ F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom E ) -> G : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118

This theorem is referenced by: (None)