Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem fmtnoge3 41442
Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 41441 . 2 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
2 3z 11410 . . . 4 |- 3 e. ZZ
32a1i 11 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 3 e. ZZ )
4 2nn0 11309 . . . . . . 7 |- 2 e. NN0
54a1i 11 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 2 e. NN0 )
6 id 22 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
75, 6nn0expcld 13031 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
85, 7nn0expcld 13031 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN0 )
9 peano2nn0 11333 . . . . 5 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. NN0 )
108, 9syl 17 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. NN0 )
1110nn0zd 11480 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. ZZ )
12 3m1e2 11137 . . . . 5 |- ( 3 - 1 ) = 2
13 2cn 11091 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
14 exp1 12866 . . . . . . 7 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
16 2re 11090 . . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
1716a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
18 1le2 11241 . . . . . . . . 9 |- 1 <_ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ 2 )
2017, 6, 19expge1d 13027 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 2 ^ N ) )
21 1zzd 11408 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 e. ZZ )
227nn0zd 11480 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
23 1lt2 11194 . . . . . . . . 9 |- 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 < 2 )
2517, 21, 22, 24leexp2d 13039 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ ( 2 ^ N ) <-> ( 2 ^ 1 ) <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ) )
2620, 25mpbid 222 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ 1 ) <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
2715, 26syl5eqbrr 4689 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 2 <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
2812, 27syl5eqbr 4688 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 3 - 1 ) <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
29 3re 11094 . . . . . 6 |- 3 e. RR
3029a1i 11 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 3 e. RR )
31 1red 10055 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
328nn0red 11352 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. RR )
3330, 31, 32lesubaddd 10624 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 3 - 1 ) <_ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) <-> 3 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) ) )
3428, 33mpbid 222 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 3 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
35 eluz2 11693 . . 3 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ 3 <_ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) ) )
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1246 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
371, 36eqeltrd 2701 1 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860  FermatNocfmtno 41439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fmtno 41440
This theorem is referenced by:  fmtnonn  41443  prmdvdsfmtnof  41498  prmdvdsfmtnof1  41499
  Copyright terms: Public domain W3C validator