Theorem exp1 12866

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	|- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Proof of Theorem exp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
2		expnnval 12863	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
3	1, 2	mpan2 707	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
4		1z 11407	. . . 4 |- 1 e. ZZ
5		seq1 12814	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 )
7	3, 6	syl6eq 2672	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
8		fvconst2g 6467	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
9	1, 8	mpan2 707	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
10	7, 9	eqtrd 2656	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   seqcseq 12801   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  expp1  12867  expn1  12870  expcllem  12871  expeq0  12890  expp1z  12909  expm1  12910  sqval  12922  expnbnd  12993  digit1  12998  exp1d  13003  faclbnd4lem1  13080  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  geoisum1  14610  bpoly1  14782  ef4p  14843  efgt1p2  14844  efgt1p  14845  rpnnen2lem3  14945  modxp1i  15774  numexp1  15781  psgnpmtr  17930  lt6abl  18296  cphipval  23042  iblcnlem1  23554  itgcnlem  23556  dvexp  23716  dveflem  23742  plyid  23965  coeidp  24019  dgrid  24020  cxp1  24417  1cubrlem  24568  1cubr  24569  log2ublem3  24675  basellem5  24811  perfectlem2  24955  logdivsum  25222  log2sumbnd  25233  ipval2  27562  0dp2dp  29617  subfacval2  31169  dvasin  33496  areacirclem1  33500  expmordi  37512  1t10e1p1e11  41319  1t10e1p1e11OLD  41320  fmtnoge3  41442  fmtno0  41452  fmtno1  41453  lighneallem2  41523  lighneallem3  41524  41prothprmlem2  41535  perfectALTVlem2  41631  tgblthelfgott  41703  tgblthelfgottOLD  41709  exple2lt6  42145  pw2m1lepw2m1  42310  logbpw2m1  42361  nnpw2pmod  42377