Theorem fmulcl 39813

Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmulcl.1	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmulcl.2	|- X = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
fmulcl.4	|- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
fmulcl.5	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmulcl.6	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
fmulcl.7	|- ( ph -> T e. _V )

Assertion

Ref	Expression
fmulcl	|- ( ph -> X e. Y )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   f, Y, g   ph, f, g

Allowed substitution hints:   ph( t)   P( t, f, g)   U( t, f, g)   M( t, f, g)   N( t, f, g)   X( t, f, g)   Y( t)

Proof of Theorem fmulcl

Dummy variables h l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmulcl.2	. 2 |- X = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
2		fmulcl.4	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
3		elfzuz 12338	. . . 4 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		elfzuz3 12339	. . . . . 6 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
6		fzss2 12381	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... M ) )
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... M ) )
8	7	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ h e. ( 1 ... N ) ) -> h e. ( 1 ... M ) )
9		fmulcl.5	. . . . 5 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
10	9	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ h e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` h ) e. Y )
11	8, 10	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ h e. ( 1 ... N ) ) -> ( U ` h ) e. Y )
12		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> h e. Y )
13		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> l e. Y )
14		fmulcl.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. _V )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> T e. _V )
16		mptexg 6484	. . . . . 6 |- ( T e. _V -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. _V )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. _V )
18		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( f ` t ) = ( h ` t ) )
19		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( g = l -> ( g ` t ) = ( l ` t ) )
20	18, 19	oveqan12d 6669	. . . . . . 7 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
21	20	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
22		fmulcl.1	. . . . . 6 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
23	21, 22	ovmpt2ga 6790	. . . . 5 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y /\ ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. _V ) -> ( h P l ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
24	12, 13, 17, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> ( h P l ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
25		3simpc 1060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( h e. Y /\ l e. Y ) )
26		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( f e. Y <-> h e. Y ) )
27	26	3anbi2d 1404	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) ) )
28	18	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) )
29	28	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( f = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) )
31	27, 30	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = h -> ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) ) )
32		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( g = l -> ( g e. Y <-> l e. Y ) )
33	32	3anbi3d 1405	. . . . . . . 8 |- ( g = l -> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) ) )
34	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( g = l -> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
35	34	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( g = l -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( g = l -> ( ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
37	33, 36	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( g = l -> ( ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) ) )
38		fmulcl.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
39	31, 37, 38	vtocl2g 3270	. . . . . 6 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y ) -> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
40	25, 39	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
41	40	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
42	24, 41	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. Y /\ l e. Y ) ) -> ( h P l ) e. Y )
43	4, 11, 42	seqcl 12821	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
44	1, 43	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> X e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   x. cmul 9941   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  39814  stoweidlem51  40268