Theorem fmuldfeqlem1 39814

Description: induction step for the proof of fmuldfeq 39815. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmuldfeqlem1.1	|- F/ f ph
fmuldfeqlem1.2	|- F/ g ph
fmuldfeqlem1.3	|- F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmuldfeqlem1.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
fmuldfeqlem1.7	|- ( ph -> T e. _V )
fmuldfeqlem1.8	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
fmuldfeqlem1.10	|- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11	|- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12	|- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
fmuldfeqlem1.13	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
fmuldfeqlem1	|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   f, N, t   U, f, t   f, Y, g   t, i, U   i, M

Allowed substitution hints:   ph( t, f, g, i)   P( t, f, g, i)   T( i)   U( g)   F( t, f, g, i)   M( t, f, g)   N( g, i)   Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1

Dummy variables h l j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... M ) e. _V
2	1	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V
3		fmuldfeqlem1.6	. . . . . . . 8 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
5	2, 4	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( U ` i ) = ( U ` j ) )
7	6	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
8	7	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) )
9	5, 8	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( U ` j ) = ( U ` ( N + 1 ) ) )
12	11	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ j = ( N + 1 ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
14		fmuldfeqlem1.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
16		fmuldfeqlem1.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17	16, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
18	17	ancli 574	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
19		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ f ( U ` ( N + 1 ) )
20		fmuldfeqlem1.1	. . . . . . . . 9 |- F/ f ph
21		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y
22	20, 21	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
23		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR
24	22, 23	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ f ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
25		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f e. Y <-> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
26	25	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) ) )
27		feq1 6026	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
28	26, 27	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
29		fmuldfeqlem1.13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
30	19, 24, 28, 29	vtoclgf 3264	. . . . . 6 |- ( ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
31	17, 18, 30	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
32	31	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) e. RR )
33	10, 13, 15, 32	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
34	33	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
35		fmuldfeqlem1.10	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
36		elfzuz 12338	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	35, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38		seqp1 12816	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
40	39	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
41		seqp1 12816	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
42	37, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
43		fmuldfeqlem1.5	. . . . . . . 8 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
44		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ h ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
45		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ l ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
46		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
47		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
48		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f ` t ) = ( h ` t ) )
49		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( g ` t ) = ( l ` t ) )
50	48, 49	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
51	50	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
52	44, 45, 46, 47, 51	cbvmpt2 6734	. . . . . . . 8 |- ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) ) = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
53	43, 52	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
54	53	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) ) )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t 1
56		fmuldfeqlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t Y
57		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
58	56, 56, 57	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
59	43, 58	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t P
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t U
61	55, 59, 60	nfseq 12811	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t seq 1 ( P , U )
62		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t N
63	61, 62	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( seq 1 ( P , U ) ` N )
64	63	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ t h = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
65		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ t l = ( U ` ( N + 1 ) )
66	64, 65	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ t ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) )
67		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
68	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
69		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( l = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
70	69	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
71	68, 70	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
72	66, 71	mpteq2da 4743	. . . . . . 7 |- ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
73	72	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
74		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( P , U ) ` N ) = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
75		3simpc 1060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( h e. Y /\ l e. Y ) )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ f h
77		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ g h
78		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ g l
79		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f h e. Y
80		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f g e. Y
81	20, 79, 80	nf3an 1831	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y )
82		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y
83	81, 82	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
84		fmuldfeqlem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g ph
85		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g h e. Y
86		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g l e. Y
87	84, 85, 86	nf3an 1831	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y )
88		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y
89	87, 88	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ g ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
90		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f e. Y <-> h e. Y ) )
91	90	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) ) )
92	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) )
93	92	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
94	93	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) )
95	91, 94	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) ) )
96		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( g e. Y <-> l e. Y ) )
97	96	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . 10 |- ( g = l -> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) ) )
98	49	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
99	98	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
100	99	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( g = l -> ( ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
101	97, 100	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( g = l -> ( ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) ) )
102		fmuldfeqlem1.9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
103	76, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102	vtocl2gf 3268	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y ) -> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
104	75, 103	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
105		fmuldfeqlem1.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. _V )
106	53, 74, 35, 16, 104, 105	fmulcl 39813	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
107		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( T e. _V -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
108	105, 107	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
109	54, 73, 106, 17, 108	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
110	42, 109	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
111	106	ancli 574	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
112		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f 1
113		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
114	43, 113	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f P
115		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f U
116	112, 114, 115	nfseq 12811	. . . . . . . . 9 |- F/_ f seq 1 ( P , U )
117		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ f N
118	116, 117	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ f ( seq 1 ( P , U ) ` N )
119	118	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y
120	20, 119	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
121		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f T
122		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f RR
123	118, 121, 122	nff 6041	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR
124	120, 123	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
125		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f e. Y <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
126	125	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) ) )
127		feq1 6026	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f : T --> RR <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
128	126, 127	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) ) )
129	118, 124, 128, 29	vtoclgf 3264	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y -> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
130	106, 111, 129	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
131	130	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) e. RR )
132	131, 32	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
133	110, 132	fvmpt2d 6293	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
134		fmuldfeqlem1.12	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
135	134	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
136	135	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
137	133, 136	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
138	34, 40, 137	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  fmuldfeq  39815