Theorem fmul01 39812

Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01.1	|- F/_ i B
fmul01.2	|- F/ i ph
fmul01.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01.6	|- ( ph -> K e. ( L ... M ) )
fmul01.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01.9	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
fmul01	|- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   K( i)

Proof of Theorem fmul01

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01.6	. 2 |- ( ph -> K e. ( L ... M ) )
2		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = L -> ( A ` k ) = ( A ` L ) )
3	2	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( k = L -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` L ) ) )
4	2	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( k = L -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` L ) <_ 1 ) )
5	3, 4	anbi12d 747	. . . 4 |- ( k = L -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = L -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A ` k ) = ( A ` j ) )
8	7	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( k = j -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` j ) ) )
9	7	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` j ) <_ 1 ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
13	12	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
14	12	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( A ` k ) = ( A ` K ) )
18	17	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( k = K -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` K ) ) )
19	17	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( k = K -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` K ) <_ 1 ) )
20	18, 19	anbi12d 747	. . . 4 |- ( k = K -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) )
21	20	imbi2d 330	. . 3 |- ( k = K -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) ) )
22		fmul01.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ZZ )
23	22	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
24	23	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L <_ L )
25		fmul01.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
26		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
28		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ( ZZ>= ` L ) <-> L <_ M ) )
29	22, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M e. ( ZZ>= ` L ) <-> L <_ M ) )
30	25, 29	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L <_ M )
31		elfz 12332	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L e. ( L ... M ) <-> ( L <_ L /\ L <_ M ) ) )
32	22, 22, 27, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L e. ( L ... M ) <-> ( L <_ L /\ L <_ M ) ) )
33	24, 30, 32	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
34	33	ancli 574	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
35		fmul01.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
36		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i L e. ( L ... M )
37	35, 36	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 0
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i <_
40		fmul01.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i L
42	40, 41	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` L )
43	38, 39, 42	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
44	37, 43	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
45		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
48	47	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
49	46, 48	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
50		fmul01.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
51	44, 49, 50	vtoclg1f 3265	. . . . . . 7 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
52	33, 34, 51	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
53		fmul01.3	. . . . . . . 8 |- A = seq L ( x. , B )
54	53	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L )
55		seq1 12814	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
56	22, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
57	54, 56	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` L ) = ( B ` L ) )
58	52, 57	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( A ` L ) )
59		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 1
60	42, 39, 59	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` L ) <_ 1
61	37, 60	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 )
62	47	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) <_ 1 <-> ( B ` L ) <_ 1 ) )
63	46, 62	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) ) )
64		fmul01.9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
65	61, 63, 64	vtoclg1f 3265	. . . . . . 7 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) )
66	33, 34, 65	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B ` L ) <_ 1 )
67	57, 66	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` L ) <_ 1 )
68	58, 67	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) )
69	68	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) )
70		elfzouz 12474	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( L..^ M ) -> j e. ( ZZ>= ` L ) )
71	70	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> j e. ( ZZ>= ` L ) )
72		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> ph )
73		elfzouz2 12484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( L..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` j ) )
74		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` j ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( L..^ M ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) )
76	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) )
77	76	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> k e. ( L ... M ) )
78		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i k e. ( L ... M )
79	35, 78	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ k e. ( L ... M ) )
80		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i k
81	40, 80	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` k )
82	81	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` k ) e. RR
83	79, 82	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
84		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( i e. ( L ... M ) <-> k e. ( L ... M ) ) )
85	84	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( B ` i ) = ( B ` k ) )
87	86	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` k ) e. RR ) )
88	85, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR ) ) )
89		fmul01.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
90	83, 88, 89	chvar 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
91	72, 77, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
92		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. RR /\ l e. RR ) -> ( k x. l ) e. RR )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ ( k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( k x. l ) e. RR )
94	71, 91, 93	seqcl 12821	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) e. RR )
95		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ph )
96		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( L..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
97	96	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
98		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( j + 1 ) e. ( L ... M )
99	35, 98	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
100		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i ( j + 1 )
101	40, 100	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` ( j + 1 ) )
102	101	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR
103	99, 102	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
104		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( i e. ( L ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) )
105	104	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) ) )
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( B ` i ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
107	106	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
108	105, 107	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) ) )
109	103, 108, 89	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
110	109	anabsi7 860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
111	95, 97, 110	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
112		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) )
113	112	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) )
114		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) -> 0 <_ ( A ` j ) )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` j ) )
116	115	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` j ) )
117	53	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( A ` j ) = ( seq L ( x. , B ) ` j )
118	116, 117	syl6breq 4694	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` j ) )
119		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> j e. ( L..^ M ) )
120	96	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
121		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> ph )
122	121, 120	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) )
123	38, 39, 101	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) )
124	99, 123	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) )
125	106	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
126	105, 125	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) )
127	124, 126, 50	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
128	120, 122, 127	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) )
129	95, 119, 128	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) )
130	94, 111, 118, 129	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
131		seqp1 12816	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
132	71, 131	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
133	130, 132	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) )
134	53	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( A ` ( j + 1 ) ) = ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) )
135	133, 134	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) )
136	94, 111	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
137		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 1 e. RR )
138	95, 97	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) )
139	101, 39, 59	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1
140	99, 139	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
141	106	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( B ` i ) <_ 1 <-> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
142	105, 141	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) )
143	140, 142, 64	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
144	97, 138, 143	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
145	111, 137, 94, 118, 144	lemul2ad 10964	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. 1 ) )
146	94	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) e. CC )
147	146	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` j ) )
148	145, 147	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` j ) )
149		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) )
150	112	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) -> ( A ` j ) <_ 1 )
151	95, 149, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( A ` j ) <_ 1 )
152	117, 151	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) <_ 1 )
153	136, 94, 137, 148, 152	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
154	132, 153	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
155	134, 154	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
156	135, 155	jca 554	. . . 4 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
157	156	3exp 1264	. . 3 |- ( j e. ( L..^ M ) -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) )
158	6, 11, 16, 21, 69, 157	fzind2 12586	. 2 |- ( K e. ( L ... M ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) )
159	1, 158	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem1  39816  fmul01lt1lem2  39817