Theorem seqp1 12816

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqp1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem seqp1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11692	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) )
3	2	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ) )
4		seqeq1 12804	. . . . . . 7 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> seq M ( .+ , F ) = seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) )
5	4	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) )
6	4	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` N ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) <-> ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
9	3, 8	imbi12d 334	. . . 4 |- ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) -> ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
10		0z 11388	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
11	10	elimel 4150	. . . . 5 |- if ( M e. ZZ , M , 0 ) e. ZZ
12		eqid 2622	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) |` om )
13		fvex 6201	. . . . 5 |- ( F ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) e. _V
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. if ( M e. ZZ , M , 0 ) , ( F ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) >. ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. if ( M e. ZZ , M , 0 ) , ( F ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) >. ) |` om )
15	14	seqval 12812	. . . . 5 |- seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) = ran ( rec ( ( x e. _V , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. if ( M e. ZZ , M , 0 ) , ( F ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) >. ) |` om )
16	11, 12, 13, 14, 15	uzrdgsuci 12759	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) -> ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq if ( M e. ZZ , M , 0 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
17	9, 16	dedth 4139	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
18	1, 17	mpcom 38	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
19		elex 3212	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. _V )
20		fvex 6201	. . 3 |- ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. _V
21		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z + 1 ) = ( N + 1 ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( z = N -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( z = N -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
24		oveq1 6657	. . . 4 |- ( w = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) -> ( w .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
25		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
26		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) e. _V
27	23, 24, 25, 26	ovmpt2 6796	. . 3 |- ( ( N e. _V /\ ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. _V ) -> ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
28	19, 20, 27	sylancl 694	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N ( z e. _V , w e. _V |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
29	18, 28	eqtrd 2656	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  seqp1i  12817  seqm1  12818  seqcl2  12819  seqfveq2  12823  seqshft2  12827  sermono  12833  seqsplit  12834  seqcaopr3  12836  seqf1olem2a  12839  seqf1olem2  12841  seqid2  12847  seqhomo  12848  ser1const  12857  expp1  12867  facp1  13065  seqcoll  13248  relexpsucnnr  13765  climserle  14393  iseraltlem2  14413  iseraltlem3  14414  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  clim2prod  14620  prodfn0  14626  prodfrec  14627  ntrivcvgfvn0  14631  ruclem7  14965  sadcp1  15177  smupp1  15202  seq1st  15284  algrp1  15287  eulerthlem2  15487  pcmpt  15596  gsumprval  17281  mulgnnp1  17549  ovolunlem1a  23264  voliunlem1  23318  volsup  23324  dvnp1  23688  bposlem5  25013  opsqrlem5  29003  esumfzf  30131  esumpcvgval  30140  sseqp1  30457  rrvsum  30516  gsumnunsn  30615  iprodefisumlem  31626  faclimlem1  31629  heiborlem4  33613  heiborlem6  33615  fmul01  39812  fmuldfeqlem1  39814  stoweidlem3  40220  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289