Theorem fmuldfeq 39815

Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmuldfeq.1	|- F/ i ph
fmuldfeq.2	|- F/_ t Y
fmuldfeq.3	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmuldfeq.4	|- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
fmuldfeq.5	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
fmuldfeq.6	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
fmuldfeq.7	|- ( ph -> T e. _V )
fmuldfeq.8	|- ( ph -> M e. NN )
fmuldfeq.9	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeq.10	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
fmuldfeq.11	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )

Assertion

Ref	Expression
fmuldfeq	|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) = ( Z ` t ) )

Distinct variable groups:   t, T   f, g, t, T   f, i, t, T   f, F, g   f, M, g   U, f, g, t   f, Y, g   ph, f, g   i, M   U, i

Allowed substitution hints:   ph( t, i)   P( t, f, g, i)   F( t, i)   M( t)   X( t, f, g, i)   Y( t, i)   Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem fmuldfeq

Dummy variables k b n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmuldfeq.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnge1d 11063	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ M )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 <_ M )
4		nnre 11027	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
5		leid 10133	. . . . . 6 |- ( M e. RR -> M <_ M )
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ M )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> M <_ M )
8	1	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> M e. ZZ )
10		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. ZZ )
11		elfz 12332	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ( 1 ... M ) <-> ( 1 <_ M /\ M <_ M ) ) )
12	9, 10, 9, 11	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( M e. ( 1 ... M ) <-> ( 1 <_ M /\ M <_ M ) ) )
13	3, 7, 12	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> M e. ( 1 ... M ) )
14	1	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> M e. NN )
15		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( m e. ( 1 ... M ) <-> 1 e. ( 1 ... M ) ) )
16	15	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ t e. T /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( seq 1 ( P , U ) ` m ) = ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) )
18	17	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) )
20	18, 19	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) <-> ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) ) )
21	16, 20	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) ) <-> ( ( ph /\ t e. T /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) ) ) )
22		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( m e. ( 1 ... M ) <-> n e. ( 1 ... M ) ) )
23	22	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( seq 1 ( P , U ) ` m ) = ( seq 1 ( P , U ) ` n ) )
25	24	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) )
27	25, 26	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) <-> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) )
28	23, 27	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) ) <-> ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) )
29		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m e. ( 1 ... M ) <-> ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
30	29	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` m ) = ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) )
32	31	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) ` t ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( n + 1 ) ) )
34	32, 33	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) <-> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
35	30, 34	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) ) <-> ( ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( m e. ( 1 ... M ) <-> M e. ( 1 ... M ) ) )
37	36	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ph /\ t e. T /\ M e. ( 1 ... M ) ) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( seq 1 ( P , U ) ` m ) = ( seq 1 ( P , U ) ` M ) )
39	38	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
41	39, 40	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) <-> ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) ) )
42	37, 41	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( ph /\ t e. T /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` m ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` m ) ) <-> ( ( ph /\ t e. T /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) ) ) )
43		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
44		seq1 12814	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) = ( ( F ` t ) ` 1 ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) = ( ( F ` t ) ` 1 )
46		1le1 10655	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 <_ 1
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ 1 )
48		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
49		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 1 ... M ) <-> ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
50	48, 48, 8, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 e. ( 1 ... M ) <-> ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ M ) ) )
51	47, 2, 50	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) )
52		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i t e. T
53		fmuldfeq.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
54		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i T
55		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) )
56	54, 55	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
57	53, 56	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ i F
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ i t
59	57, 58	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ i ( F ` t )
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ i 1
61	59, 60	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i ( ( F ` t ) ` 1 )
62		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 )
63	61, 62	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 )
64	52, 63	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( t e. T -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 1 -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( F ` t ) ` 1 ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 1 -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) )
67	65, 66	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 1 -> ( ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) <-> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) ) )
68	67	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( ( t e. T -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) ) <-> ( t e. T -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) ) ) )
69		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... M ) e. _V
70	69	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V
71	53	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
72	70, 71	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
73	72	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. T -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) )
74	64, 68, 73	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ( 1 ... M ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) ) )
75	51, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) ) )
76	75	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) )
77	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. ( 1 ... M ) )
78		fmuldfeq.9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
79	78, 51	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U ` 1 ) e. Y )
80	79	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ph /\ ( U ` 1 ) e. Y ) )
81		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( U ` 1 ) -> ( f e. Y <-> ( U ` 1 ) e. Y ) )
82	81	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( U ` 1 ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` 1 ) e. Y ) ) )
83		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( U ` 1 ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` 1 ) : T --> RR ) )
84	82, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( U ` 1 ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` 1 ) e. Y ) -> ( U ` 1 ) : T --> RR ) ) )
85		fmuldfeq.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Y -> ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) )
87	84, 86	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U ` 1 ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` 1 ) e. Y ) -> ( U ` 1 ) : T --> RR ) )
88	79, 80, 87	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ` 1 ) : T --> RR )
89	88	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U ` 1 ) ` t ) e. RR )
90		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( U ` i ) = ( U ` 1 ) )
91	90	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` 1 ) ` t ) )
92		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) )
93	91, 92	fvmptg 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ( 1 ... M ) /\ ( ( U ` 1 ) ` t ) e. RR ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) = ( ( U ` 1 ) ` t ) )
94	77, 89, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` 1 ) = ( ( U ` 1 ) ` t ) )
95	76, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( U ` 1 ) ` t ) )
96		seq1 12814	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) = ( U ` 1 ) )
97	43, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) = ( U ` 1 )
98	97	fveq1i 6192	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) = ( ( U ` 1 ) ` t )
99	95, 98	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` 1 ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) )
100	45, 99	syl5req 2669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) )
101	100	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T /\ 1 e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` 1 ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` 1 ) )
102		simp31 1097	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ph )
103		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> n e. NN )
104		simp33 1099	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
105	103, 104	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( n e. NN /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
106		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
107	106	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
108	107	anim1i 592	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) )
109		peano2fzr 12354	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> n e. ( 1 ... M ) )
110	105, 108, 109	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> n e. ( 1 ... M ) )
111		simp32 1098	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> t e. T )
112		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) )
113	102, 111, 110, 112	mp3and 1427	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) )
114	110, 104, 113	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) )
115		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ f ph
116		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ f n e. ( 1 ... M )
117		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( n + 1 ) e. ( 1 ... M )
118		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ f 1
119		fmuldfeq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
120		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ f ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
121	119, 120	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ f P
122		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ f U
123	118, 121, 122	nfseq 12811	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ f seq 1 ( P , U )
124		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ f n
125	123, 124	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f ( seq 1 ( P , U ) ` n )
126		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f t
127	125, 126	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t )
128		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n )
129	127, 128	nfeq 2776	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n )
130	116, 117, 129	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) )
131	115, 130	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) )
132		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ g ph
133		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ g n e. ( 1 ... M )
134		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( n + 1 ) e. ( 1 ... M )
135		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ g 1
136		nfmpt22 6723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ g ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
137	119, 136	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ g P
138		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ g U
139	135, 137, 138	nfseq 12811	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ g seq 1 ( P , U )
140		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ g n
141	139, 140	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ g ( seq 1 ( P , U ) ` n )
142		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ g t
143	141, 142	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t )
144		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n )
145	143, 144	nfeq 2776	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n )
146	133, 134, 145	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ g ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) )
147	132, 146	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ g ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) )
148		fmuldfeq.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t Y
149		fmuldfeq.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. _V )
150	149	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) -> T e. _V )
151	78	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
152		fmuldfeq.11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
153	152	3adant1r 1319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
154		simpr1 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) -> n e. ( 1 ... M ) )
155		simpr2 1068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
156		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) )
157	85	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
158	131, 147, 148, 119, 53, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157	fmuldfeqlem1 39814	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... M ) /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) /\ ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( n + 1 ) ) )
159	102, 114, 111, 158	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) /\ ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( n + 1 ) ) )
160	159	3exp 1264	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( ( ( ph /\ t e. T /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` n ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` n ) ) -> ( ( ph /\ t e. T /\ ( n + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( n + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
161	21, 28, 35, 42, 101, 160	nnind 11038	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ph /\ t e. T /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) ) )
162	14, 161	mpcom 38	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
163	13, 162	mpd3an3 1425	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
164		fmuldfeq.4	. . . 4 |- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
165	164	fveq1i 6192	. . 3 |- ( X ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t )
166	165	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` M ) ` t ) )
167		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
168		elnnuz 11724	. . . . . 6 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
169	1, 168	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
170	169	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
171		fmuldfeq.1	. . . . . . . 8 |- F/ i ph
172	171, 52	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ i ( ph /\ t e. T )
173		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ i k e. ( 1 ... M )
174	172, 173	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ i ( ( ph /\ t e. T ) /\ k e. ( 1 ... M ) )
175		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ i k
176	59, 175	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ i ( ( F ` t ) ` k )
177	176	nfel1 2779	. . . . . 6 |- F/ i ( ( F ` t ) ` k ) e. RR
178	174, 177	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ i ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` k ) e. RR )
179		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> k e. ( 1 ... M ) ) )
180	179	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ( ph /\ t e. T ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) ) )
181		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( F ` t ) ` k ) )
182	181	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( ( ( F ` t ) ` i ) e. RR <-> ( ( F ` t ) ` k ) e. RR ) )
183	180, 182	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( i = k -> ( ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` k ) e. RR ) ) )
184	73	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) )
185		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
186	78	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) e. Y )
187		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
188	187, 186	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) )
189		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f e. Y <-> ( U ` i ) e. Y ) )
190	189	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) ) )
191		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` i ) : T --> RR ) )
192	190, 191	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) ) )
193	192, 86	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U ` i ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) )
194	186, 188, 193	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
195	194	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
196		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> t e. T )
197	195, 196	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) e. RR )
198	92	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
199	185, 197, 198	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
200	199, 197	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) e. RR )
201	184, 200	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) e. RR )
202	178, 183, 201	chvar 2262	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` k ) e. RR )
203		remulcl 10021	. . . . 5 |- ( ( k e. RR /\ b e. RR ) -> ( k x. b ) e. RR )
204	203	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ ( k e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( k x. b ) e. RR )
205	170, 202, 204	seqcl 12821	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) e. RR )
206		fmuldfeq.6	. . . 4 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
207	206	fvmpt2 6291	. . 3 |- ( ( t e. T /\ ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) e. RR ) -> ( Z ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
208	167, 205, 207	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( Z ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
209	163, 166, 208	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) = ( Z ` t ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  stoweidlem42  40259  stoweidlem48  40265