Theorem foresf1o 29343

Description: From a surjective function, *choose* a subset of the domain, such that the restricted function is bijective. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
foresf1o	|- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> E. x e. ~P A ( F |` x ) : x -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem foresf1o

Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fornex 7135	. . . 4 |- ( A e. V -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )
2	1	imp 445	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> B e. _V )
3		foelrn 6378	. . . . . 6 |- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. z e. A y = ( F ` z ) )
4		fofn 6117	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
5		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` z ) = y <-> y = ( F ` z ) )
6		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( z e. ( `' F " { y } ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) = y ) ) )
7	6	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ ( z e. A /\ ( F ` z ) = y ) ) -> z e. ( `' F " { y } ) )
8	7	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Fn A /\ z e. A ) /\ ( F ` z ) = y ) -> z e. ( `' F " { y } ) )
9	5, 8	sylan2br 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F Fn A /\ z e. A ) /\ y = ( F ` z ) ) -> z e. ( `' F " { y } ) )
10	4, 9	sylanl1 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ z e. A ) /\ y = ( F ` z ) ) -> z e. ( `' F " { y } ) )
11	10	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -onto-> B /\ z e. A ) -> ( y = ( F ` z ) -> z e. ( `' F " { y } ) ) )
12	11	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> B -> ( E. z e. A y = ( F ` z ) -> E. z e. A z e. ( `' F " { y } ) ) )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> ( E. z e. A y = ( F ` z ) -> E. z e. A z e. ( `' F " { y } ) ) )
14	3, 13	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. z e. A z e. ( `' F " { y } ) )
15	14	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ y e. B ) -> E. z e. A z e. ( `' F " { y } ) )
16	15	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> A. y e. B E. z e. A z e. ( `' F " { y } ) )
17		eleq1 2689	. . . 4 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( `' F " { y } ) <-> ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) )
18	17	ac6sg 9310	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A. y e. B E. z e. A z e. ( `' F " { y } ) -> E. g ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) )
19	2, 16, 18	sylc 65	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> E. g ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) )
20		frn 6053	. . . . 5 |- ( g : B --> A -> ran g C_ A )
21	20	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> ran g C_ A )
22		vex 3203	. . . . . 6 |- g e. _V
23	22	rnex 7100	. . . . 5 |- ran g e. _V
24	23	elpw 4164	. . . 4 |- ( ran g e. ~P A <-> ran g C_ A )
25	21, 24	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> ran g e. ~P A )
26		fof 6115	. . . . . 6 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
27	26	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> F : A --> B )
28	27, 21	fssresd 6071	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> ( F |` ran g ) : ran g --> B )
29		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( g : B --> A -> g Fn B )
30	29	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> g Fn B )
31		dffn3 6054	. . . . 5 |- ( g Fn B <-> g : B --> ran g )
32	30, 31	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> g : B --> ran g )
33		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran g -> ( ( F |` ran g ) ` z ) = ( F ` z ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) -> ( ( F |` ran g ) ` z ) = ( F ` z ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) -> ( g ` ( ( F |` ran g ) ` z ) ) = ( g ` ( F ` z ) ) )
36		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A e. V /\ F : A -onto-> B )
37		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y g : B --> A
38		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } )
39	37, 38	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
40	36, 39	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y z e. ran g
42	40, 41	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( g ` y ) = z )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( F ` z ) )
45	4	ad5antlr 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> F Fn A )
46		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) -> A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
48		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> y e. B )
49		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
51		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) <-> ( ( g ` y ) e. A /\ ( F ` ( g ` y ) ) = y ) ) )
52	51	simplbda 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = y )
53	45, 50, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = y )
54	44, 53	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( F ` z ) = y )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( g ` ( F ` z ) ) = ( g ` y ) )
56	55, 43	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) /\ y e. B ) /\ ( g ` y ) = z ) -> ( g ` ( F ` z ) ) = z )
57		fvelrnb 6243	. . . . . . . . 9 |- ( g Fn B -> ( z e. ran g <-> E. y e. B ( g ` y ) = z ) )
58	57	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn B /\ z e. ran g ) -> E. y e. B ( g ` y ) = z )
59	30, 58	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) -> E. y e. B ( g ` y ) = z )
60	42, 56, 59	r19.29af 3076	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) -> ( g ` ( F ` z ) ) = z )
61	35, 60	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ z e. ran g ) -> ( g ` ( ( F |` ran g ) ` z ) ) = z )
62	61	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> A. z e. ran g ( g ` ( ( F |` ran g ) ` z ) ) = z )
63	32	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) e. ran g )
64		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( ( g ` y ) e. ran g -> ( ( F |` ran g ) ` ( g ` y ) ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> ( ( F |` ran g ) ` ( g ` y ) ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
66	4	ad3antlr 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> F Fn A )
67		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
68		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> y e. B )
69	67, 68, 49	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) )
70	66, 69, 52	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = y )
71	65, 70	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) /\ y e. B ) -> ( ( F |` ran g ) ` ( g ` y ) ) = y )
72	71	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> ( y e. B -> ( ( F |` ran g ) ` ( g ` y ) ) = y ) )
73	40, 72	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> A. y e. B ( ( F |` ran g ) ` ( g ` y ) ) = y )
74	28, 32, 62, 73	2fvidf1od 6553	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> ( F |` ran g ) : ran g -1-1-onto-> B )
75		reseq2 5391	. . . . 5 |- ( x = ran g -> ( F |` x ) = ( F |` ran g ) )
76		id 22	. . . . 5 |- ( x = ran g -> x = ran g )
77		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( x = ran g -> B = B )
78	75, 76, 77	f1oeq123d 6133	. . . 4 |- ( x = ran g -> ( ( F |` x ) : x -1-1-onto-> B <-> ( F |` ran g ) : ran g -1-1-onto-> B ) )
79	78	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ran g e. ~P A /\ ( F |` ran g ) : ran g -1-1-onto-> B ) -> E. x e. ~P A ( F |` x ) : x -1-1-onto-> B )
80	25, 74, 79	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) /\ ( g : B --> A /\ A. y e. B ( g ` y ) e. ( `' F " { y } ) ) ) -> E. x e. ~P A ( F |` x ) : x -1-1-onto-> B )
81	19, 80	exlimddv 1863	1 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> E. x e. ~P A ( F |` x ) : x -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-en 7956  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  rabfodom  29344