Theorem eulerpartlem1 30429

Description: Lemma for eulerpart 30444. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlem1	|- M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )

Distinct variable groups:   x, r, y, J   H, r

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, r)   P( x, y, z, f, g, k, n, r)   F( x, y, z, f, g, k, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, f, g, k, n)   M( x, y, z, f, g, k, n, r)   N( x, y, z, f, g, k, n, r)   O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.j	. . . 4 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
2		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
3	1, 2	rabex2 4815	. . 3 |- J e. _V
4		nn0ex 11298	. . 3 |- NN0 e. _V
5		eqid 2622	. . 3 |- ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) = ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
6		eulerpart.h	. . 3 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
7	3, 4, 5, 6	fpwrelmapffs 29509	. 2 |- ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )
8		eulerpart.m	. . . 4 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
9		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } C_ ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J )
10	4	pwex 4848	. . . . . . . 8 |- ~P NN0 e. _V
11		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( ~P NN0 i^i Fin ) C_ ~P NN0
12		mapss 7900	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P NN0 e. _V /\ ( ~P NN0 i^i Fin ) C_ ~P NN0 ) -> ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) C_ ( ~P NN0 ^m J ) )
13	10, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) C_ ( ~P NN0 ^m J )
14	9, 13	sstri 3612	. . . . . 6 |- { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } C_ ( ~P NN0 ^m J )
15	6, 14	eqsstri 3635	. . . . 5 |- H C_ ( ~P NN0 ^m J )
16		resmpt 5449	. . . . 5 |- ( H C_ ( ~P NN0 ^m J ) -> ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H ) = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H ) = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
18	8, 17	eqtr4i 2647	. . 3 |- M = ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H )
19		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( M = ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H ) -> ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) <-> ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 |- ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) <-> ( ( r e. ( ~P NN0 ^m J ) |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } ) |` H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
21	7, 20	mpbir 221	1 |- M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  30434  eulerpartlemgvv  30438  eulerpartlemgf  30441