Theorem frgpnabl 18278

Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgpnabl.g	|- G = (freeGrp ` I )

Assertion

Ref	Expression
frgpnabl	|- ( 1o ~< I -> -. G e. Abel )

Proof of Theorem frgpnabl

Dummy variables a b x n v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7962	. . . . 5 |- Rel ~<
2	1	brrelex2i 5159	. . . 4 |- ( 1o ~< I -> I e. _V )
3		1sdom 8163	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( 1o ~< I <-> E. a e. I E. b e. I -. a = b ) )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( 1o ~< I -> ( 1o ~< I <-> E. a e. I E. b e. I -. a = b ) )
5	4	ibi 256	. 2 |- ( 1o ~< I -> E. a e. I E. b e. I -. a = b )
6		frgpnabl.g	. . . . . 6 |- G = (freeGrp ` I )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ~FG ` I ) = ( ~FG ` I )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. ) = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( v e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. ) ` w ) "> >. ) ) ) = ( v e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. ) ` w ) "> >. ) ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) \ U_ x e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) ran ( ( v e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. ) ` w ) "> >. ) ) ) ` x ) ) = ( ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) \ U_ x e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) ran ( ( v e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. ) ` w ) "> >. ) ) ) ` x ) )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- (varFGrp ` I ) = (varFGrp ` I )
14	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> I e. _V )
15		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> a e. I )
16		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> b e. I )
17		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> G e. Abel )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
19	8, 13, 6, 18	vrgpf 18181	. . . . . . . . 9 |- ( I e. _V -> (varFGrp ` I ) : I --> ( Base ` G ) )
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> (varFGrp ` I ) : I --> ( Base ` G ) )
21	20, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> ( (varFGrp ` I ) ` a ) e. ( Base ` G ) )
22	20, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> ( (varFGrp ` I ) ` b ) e. ( Base ` G ) )
23	18, 9	ablcom 18210	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Abel /\ ( (varFGrp ` I ) ` a ) e. ( Base ` G ) /\ ( (varFGrp ` I ) ` b ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( (varFGrp ` I ) ` a ) ( +g ` G ) ( (varFGrp ` I ) ` b ) ) = ( ( (varFGrp ` I ) ` b ) ( +g ` G ) ( (varFGrp ` I ) ` a ) ) )
24	17, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> ( ( (varFGrp ` I ) ` a ) ( +g ` G ) ( (varFGrp ` I ) ` b ) ) = ( ( (varFGrp ` I ) ` b ) ( +g ` G ) ( (varFGrp ` I ) ` a ) ) )
25	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24	frgpnabllem2 18277	. . . . 5 |- ( ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) /\ G e. Abel ) -> a = b )
26	25	ex 450	. . . 4 |- ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) -> ( G e. Abel -> a = b ) )
27	26	con3d 148	. . 3 |- ( ( 1o ~< I /\ ( a e. I /\ b e. I ) ) -> ( -. a = b -> -. G e. Abel ) )
28	27	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( 1o ~< I -> ( E. a e. I E. b e. I -. a = b -> -. G e. Abel ) )
29	5, 28	mpd 15	1 |- ( 1o ~< I -> -. G e. Abel )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   <.cop 4183   <.cotp 4185   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~< csdm 7954   0cc0 9936   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   splice csplice 13296   <"cs2 13586   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120  var_FGrpcvrgp 18121   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-frmd 17386  df-grp 17425  df-efg 18122  df-frgp 18123  df-vrgp 18124  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  frgpcyg  19922