Theorem frmdplusg 17391

Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	|- M = (freeMnd ` I )
frmdbas.b	|- B = ( Base ` M )
frmdplusg.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
frmdplusg	|- .+ = ( ++ |` ( B X. B ) )

Proof of Theorem frmdplusg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdplusg.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
2		frmdbas.m	. . . . . 6 |- M = (freeMnd ` I )
3		frmdbas.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
4	2, 3	frmdbas 17389	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> B = Word I )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ++ |` ( B X. B ) ) = ( ++ |` ( B X. B ) )
6	2, 4, 5	frmdval 17388	. . . . 5 |- ( I e. _V -> M = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. } )
7	6	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( +g ` M ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. } ) )
8	1, 7	syl5eq 2668	. . 3 |- ( I e. _V -> .+ = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. } ) )
9		wrdexg 13315	. . . 4 |- ( I e. _V -> Word I e. _V )
10		ccatfn 13357	. . . . . . 7 |- ++ Fn ( _V X. _V )
11		xpss 5226	. . . . . . 7 |- ( B X. B ) C_ ( _V X. _V )
12		fnssres 6004	. . . . . . 7 |- ( ( ++ Fn ( _V X. _V ) /\ ( B X. B ) C_ ( _V X. _V ) ) -> ( ++ |` ( B X. B ) ) Fn ( B X. B ) )
13	10, 11, 12	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ++ |` ( B X. B ) ) Fn ( B X. B )
14		ovres 6800	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( ++ |` ( B X. B ) ) y ) = ( x ++ y ) )
15	2, 3	frmdelbas 17390	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> x e. Word I )
16	2, 3	frmdelbas 17390	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. Word I )
17		ccatcl 13359	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Word I /\ y e. Word I ) -> ( x ++ y ) e. Word I )
18	15, 16, 17	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ++ y ) e. Word I )
19	14, 18	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( ++ |` ( B X. B ) ) y ) e. Word I )
20	19	rgen2a 2977	. . . . . 6 |- A. x e. B A. y e. B ( x ( ++ |` ( B X. B ) ) y ) e. Word I
21		ffnov 6764	. . . . . 6 |- ( ( ++ |` ( B X. B ) ) : ( B X. B ) -->Word I <-> ( ( ++ |` ( B X. B ) ) Fn ( B X. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( ++ |` ( B X. B ) ) y ) e. Word I ) )
22	13, 20, 21	mpbir2an 955	. . . . 5 |- ( ++ |` ( B X. B ) ) : ( B X. B ) -->Word I
23		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` M ) e. _V
24	3, 23	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
25	24, 24	xpex 6962	. . . . 5 |- ( B X. B ) e. _V
26		fex2 7121	. . . . 5 |- ( ( ( ++ |` ( B X. B ) ) : ( B X. B ) -->Word I /\ ( B X. B ) e. _V /\ Word I e. _V ) -> ( ++ |` ( B X. B ) ) e. _V )
27	22, 25, 26	mp3an12 1414	. . . 4 |- (Word I e. _V -> ( ++ |` ( B X. B ) ) e. _V )
28		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. }
29	28	grpplusg 15992	. . . 4 |- ( ( ++ |` ( B X. B ) ) e. _V -> ( ++ |` ( B X. B ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. } ) )
30	9, 27, 29	3syl 18	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ++ |` ( B X. B ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( ++ |` ( B X. B ) ) >. } ) )
31	8, 30	eqtr4d 2659	. 2 |- ( I e. _V -> .+ = ( ++ |` ( B X. B ) ) )
32		fvprc 6185	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> (freeMnd ` I ) = (/) )
33	2, 32	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> M = (/) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( +g ` M ) = ( +g ` (/) ) )
35	1, 34	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> .+ = ( +g ` (/) ) )
36		res0 5400	. . . . 5 |- ( ++ |` (/) ) = (/)
37		df-plusg 15954	. . . . . 6 |- +g = Slot 2
38	37	str0 15911	. . . . 5 |- (/) = ( +g ` (/) )
39	36, 38	eqtr2i 2645	. . . 4 |- ( +g ` (/) ) = ( ++ |` (/) )
40	35, 39	syl6eq 2672	. . 3 |- ( -. I e. _V -> .+ = ( ++ |` (/) ) )
41	33	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> ( Base ` M ) = ( Base ` (/) ) )
42		base0 15912	. . . . . . 7 |- (/) = ( Base ` (/) )
43	41, 3, 42	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> B = (/) )
44	43	xpeq2d 5139	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( B X. B ) = ( B X. (/) ) )
45		xp0 5552	. . . . 5 |- ( B X. (/) ) = (/)
46	44, 45	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( B X. B ) = (/) )
47	46	reseq2d 5396	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( ++ |` ( B X. B ) ) = ( ++ |` (/) ) )
48	40, 47	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. I e. _V -> .+ = ( ++ |` ( B X. B ) ) )
49	31, 48	pm2.61i 176	1 |- .+ = ( ++ |` ( B X. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  freeMndcfrmd 17384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-frmd 17386

This theorem is referenced by:  frmdadd  17392