Theorem ccatcl 13359

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl	|- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word B )

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 13358	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) )
2		wrdf 13310	. . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> B )
3	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> B )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. B )
5		wrdf 13310	. . . . . . 7 |- ( T e. Word B -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> B )
6	5	ad3antlr 767	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> T : ( 0..^ ( # ` T ) ) --> B )
7		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
8	7	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) )
9		lencl 13324	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Word B -> ( # ` S ) e. NN0 )
10	9	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> ( # ` S ) e. ZZ )
11		lencl 13324	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. Word B -> ( # ` T ) e. NN0 )
12	11	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( T e. Word B -> ( # ` T ) e. ZZ )
13	10, 12	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( ( # ` S ) e. ZZ /\ ( # ` T ) e. ZZ ) )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( ( # ` S ) e. ZZ /\ ( # ` T ) e. ZZ ) )
15		fzocatel 12531	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) /\ ( ( # ` S ) e. ZZ /\ ( # ` T ) e. ZZ ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) )
16	8, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( x - ( # ` S ) ) e. ( 0..^ ( # ` T ) ) )
17	6, 16	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) ) -> ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) e. B )
18	4, 17	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) e. B )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) )
20	18, 19	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) --> B )
21		iswrdi 13309	. . 3 |- ( ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) --> B -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) e. Word B )
22	20, 21	syl 17	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ ( # ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - ( # ` S ) ) ) ) ) e. Word B )
23	1, 22	eqeltrd 2701	1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  ccatsymb  13366  ccatass  13371  ccatalpha  13375  ccatws1cl  13396  ccatswrd  13456  swrdccat1  13457  swrdccat2  13458  swrdccatfn  13482  swrdccatin1  13483  swrdccatin2  13487  swrdccatin12lem2c  13488  swrdccatin12  13491  splcl  13503  spllen  13505  splfv1  13506  splfv2a  13507  splval2  13508  revccat  13515  cshwcl  13544  cats1cld  13600  cats1cli  13602  cats2cat  13607  gsumccat  17378  gsumspl  17381  gsumwspan  17383  frmdplusg  17391  frmdmnd  17396  frmdsssubm  17398  frmdup1  17401  psgnuni  17919  efginvrel2  18140  efgsp1  18150  efgredleme  18156  efgredlemc  18158  efgcpbllemb  18168  efgcpbl2  18170  frgpuplem  18185  frgpup1  18188  psgnghm  19926  wwlksnext  26788  clwlkclwwlk2  26904  clwwlksel  26914  wwlksext2clwwlk  26924  numclwlk1lem2fo  27228  sseqf  30454  ofcccat  30620  signstfvn  30646  signstfvp  30648  signstfvc  30651  signsvfn  30659  signsvtn  30661  signshf  30665  mrsubccat  31415  mrsubco  31418  ccatpfx  41409  pfxccat1  41410  pfxccatin12  41425  pfxccatpfx1  41427  pfxccatpfx2  41428