Theorem fzshftral 12428

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		fzrevral 12425	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
3	1, 2	mp3an3 1413	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
4	3	3adant3 1081	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
5		zsubcl 11419	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 - N ) e. ZZ )
6	1, 5	mpan 706	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 - N ) e. ZZ )
7		zsubcl 11419	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 - M ) e. ZZ )
8	1, 7	mpan 706	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( 0 - M ) e. ZZ )
9		id 22	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
10		fzrevral 12425	. . . 4 |- ( ( ( 0 - N ) e. ZZ /\ ( 0 - M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1368	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
12	11	3com12 1269	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
13		ovex 6678	. . . . 5 |- ( K - k ) e. _V
14		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = ( K - k ) -> ( 0 - x ) = ( 0 - ( K - k ) ) )
15	14	sbcco3g 3999	. . . . 5 |- ( ( K - k ) e. _V -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph )
17	16	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph )
18		zcn 11382	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
19		zcn 11382	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
20		zcn 11382	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
21		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u M = ( 0 - M )
22	21	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( K - -u M ) = ( K - ( 0 - M ) )
23		subneg 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( K + M ) )
24		addcom 10222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K + M ) = ( M + K ) )
25	23, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( M + K ) )
26	22, 25	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
27	26	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
28		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u N = ( 0 - N )
29	28	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( K - -u N ) = ( K - ( 0 - N ) )
30		subneg 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( K + N ) )
31		addcom 10222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K + N ) = ( N + K ) )
32	30, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( N + K ) )
33	29, 32	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
34	33	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
35	27, 34	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
36	35	3coml 1272	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
37	18, 19, 20, 36	syl3an 1368	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
38	37	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
39		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. ZZ )
40	39	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. CC )
41		df-neg 10269	. . . . . . . . 9 |- -u ( K - k ) = ( 0 - ( K - k ) )
42		negsubdi2 10340	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> -u ( K - k ) = ( k - K ) )
43	41, 42	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
44	20, 40, 43	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
45	44	sbceq1d 3440	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
46	45	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
47	46	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
48	38, 47	bitrd 268	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
49	17, 48	syl5bb 272	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
50	4, 12, 49	3bitrd 294	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzoshftral  12585  fprodser  14679  prmgaplem7  15761  poimirlem27  33436