Theorem fprodser 14679

Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodser.1	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = A )
fprodser.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprodser.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodser	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodser

Dummy variables j m n p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfc 14675	. 2 |- prod_ j e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` j ) = prod_ k e. ( M ... N ) A
2		fveq2 6191	. . . 4 |- ( j = ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` j ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) )
3		fprodser.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
6	5	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
7		eluzel2 11692	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	3, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
10		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
11	6, 9, 10	subadd23d 10414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - M ) + 1 ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
12	11	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
13		uznn0sub 11719	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
15		nn0p1nn 11332	. . . . . 6 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> ( ( N - M ) + 1 ) e. NN )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - M ) + 1 ) e. NN )
17	12, 16	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. NN )
18	10, 9	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + ( M - 1 ) ) = M )
19	6, 10, 9	pnpncand 10452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) = N )
20	18, 19	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) = ( M ... N ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( p e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) <-> p e. ( M ... N ) ) )
22	21	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) ) -> p e. ( M ... N ) )
23		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( M ... N ) -> p e. ZZ )
24	23	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( M ... N ) -> p e. CC )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> p e. CC )
26		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
27	8, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
28	27	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. CC )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. CC )
30	25, 29	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) = p )
31		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> p e. ( M ... N ) )
32	30, 31	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
33		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( p - ( M - 1 ) ) e. _V
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - ( M - 1 ) ) -> ( n + ( M - 1 ) ) = ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) )
35	34	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - ( M - 1 ) ) -> ( ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) ) )
36	33, 35	sbcie 3470	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( p - ( M - 1 ) ) / n ]. ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
37	32, 36	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> [. ( p - ( M - 1 ) ) / n ]. ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
38	22, 37	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) ) -> [. ( p - ( M - 1 ) ) / n ]. ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
39	38	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) [. ( p - ( M - 1 ) ) / n ]. ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
40		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
41	17	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
42		fzshftral 12428	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) <-> A. p e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) [. ( p - ( M - 1 ) ) / n ]. ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) ) )
43	40, 41, 27, 42	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) <-> A. p e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) [. ( p - ( M - 1 ) ) / n ]. ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) ) )
44	39, 43	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
45	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
46	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
47	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> p e. ZZ )
48	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
49		fzsubel 12377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( p e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) ) -> ( p e. ( M ... N ) <-> ( p - ( M - 1 ) ) e. ( ( M - ( M - 1 ) ) ... ( N - ( M - 1 ) ) ) ) )
50	45, 46, 47, 48, 49	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( p e. ( M ... N ) <-> ( p - ( M - 1 ) ) e. ( ( M - ( M - 1 ) ) ... ( N - ( M - 1 ) ) ) ) )
51	31, 50	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( p - ( M - 1 ) ) e. ( ( M - ( M - 1 ) ) ... ( N - ( M - 1 ) ) ) )
52	9, 10	nncand 10397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M - ( M - 1 ) ) = 1 )
53	6, 9, 10	subsub2d 10421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - ( M - 1 ) ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
54	52, 53	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M - ( M - 1 ) ) ... ( N - ( M - 1 ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( ( M - ( M - 1 ) ) ... ( N - ( M - 1 ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
56	51, 55	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> ( p - ( M - 1 ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
57	30	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> p = ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) )
58	34	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - ( M - 1 ) ) -> ( p = ( n + ( M - 1 ) ) <-> p = ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) ) )
59	58	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p - ( M - 1 ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) /\ p = ( ( p - ( M - 1 ) ) + ( M - 1 ) ) ) -> E. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) )
60	56, 57, 59	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> E. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) )
61		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -> n e. ZZ )
62	61	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -> n e. CC )
63		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -> m e. ZZ )
64	63	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -> m e. CC )
65	62, 64	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( n e. CC /\ m e. CC ) )
66		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ p = ( m + ( M - 1 ) ) ) -> ( n + ( M - 1 ) ) = ( m + ( M - 1 ) ) )
67		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. CC /\ m e. CC ) ) -> n e. CC )
68		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. CC /\ m e. CC ) ) -> m e. CC )
69	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( M - 1 ) e. CC )
70	67, 68, 69	addcan2d 10240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( ( n + ( M - 1 ) ) = ( m + ( M - 1 ) ) <-> n = m ) )
71	66, 70	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. CC /\ m e. CC ) ) -> ( ( p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ p = ( m + ( M - 1 ) ) ) -> n = m ) )
72	65, 71	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) ) -> ( ( p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ p = ( m + ( M - 1 ) ) ) -> n = m ) )
73	72	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) A. m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( ( p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ p = ( m + ( M - 1 ) ) ) -> n = m ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) A. m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( ( p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ p = ( m + ( M - 1 ) ) ) -> n = m ) )
75		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( n + ( M - 1 ) ) = ( m + ( M - 1 ) ) )
76	75	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( p = ( n + ( M - 1 ) ) <-> p = ( m + ( M - 1 ) ) ) )
77	76	reu4 3400	. . . . . . 7 |- ( E! n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) <-> ( E. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) A. m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( ( p = ( n + ( M - 1 ) ) /\ p = ( m + ( M - 1 ) ) ) -> n = m ) ) )
78	60, 74, 77	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( M ... N ) ) -> E! n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) )
79	78	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. p e. ( M ... N ) E! n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) )
80		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) = ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) )
81	80	f1ompt 6382	. . . . 5 |- ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( A. n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ( n + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) /\ A. p e. ( M ... N ) E! n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) p = ( n + ( M - 1 ) ) ) )
82	44, 79, 81	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
83		fprodser.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
84		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) |-> A ) = ( k e. ( M ... N ) |-> A )
85	83, 84	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> A ) : ( M ... N ) --> CC )
86	85	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` j ) e. CC )
87		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
88		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> 1 e. ZZ )
89	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
90	63	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> m e. ZZ )
91	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( M - 1 ) e. ZZ )
92		fzaddel 12375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) <-> ( m + ( M - 1 ) ) e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) ) )
93	88, 89, 90, 91, 92	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) <-> ( m + ( M - 1 ) ) e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) ) )
94	87, 93	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( m + ( M - 1 ) ) e. ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) )
95	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( 1 + ( M - 1 ) ) ... ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) = ( M ... N ) )
96	94, 95	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( m + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) )
97		fprodser.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = A )
98	97	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = A )
99		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A
100	99	nfeq2 2780	. . . . . . . 8 |- F/ k ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A
101		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( m + ( M - 1 ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) )
102		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( m + ( M - 1 ) ) -> A = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A )
103	101, 102	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( k = ( m + ( M - 1 ) ) -> ( ( F ` k ) = A <-> ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A ) )
104	100, 103	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( ( m + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = A -> ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A ) )
105	98, 104	mpan9 486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A )
106	96, 105	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A )
107		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
108	82, 107	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
109		fvco3 6275	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ) ` m ) = ( F ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) )
110	108, 109	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ) ` m ) = ( F ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) )
111		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( m + ( M - 1 ) ) e. _V
112	75, 80, 111	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) = ( m + ( M - 1 ) ) )
113	112	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) = ( m + ( M - 1 ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( F ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) = ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) )
115	110, 114	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ) ` m ) = ( F ` ( m + ( M - 1 ) ) ) )
116	113	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( m + ( M - 1 ) ) ) )
117	83	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
118	99	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A e. CC
119	102	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( m + ( M - 1 ) ) -> ( A e. CC <-> [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A e. CC ) )
120	118, 119	rspc 3303	. . . . . . . . 9 |- ( ( m + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A e. CC ) )
121	117, 120	mpan9 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A e. CC )
122	96, 121	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A e. CC )
123	84	fvmpts 6285	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + ( M - 1 ) ) e. ( M ... N ) /\ [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A e. CC ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A )
124	96, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( m + ( M - 1 ) ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A )
125	116, 124	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) = [_ ( m + ( M - 1 ) ) / k ]_ A )
126	106, 115, 125	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ) ` m ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` ( ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ` m ) ) )
127	2, 17, 82, 86, 126	fprod 14671	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` j ) = ( seq 1 ( x. , ( F o. ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
128		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
129	17, 128	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
130	129, 27, 115	seqshft2 12827	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( F o. ( n e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( n + ( M - 1 ) ) ) ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( seq ( 1 + ( M - 1 ) ) ( x. , F ) ` ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) )
131	18	seqeq1d 12807	. . . 4 |- ( ph -> seq ( 1 + ( M - 1 ) ) ( x. , F ) = seq M ( x. , F ) )
132	131, 19	fveq12d 6197	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( 1 + ( M - 1 ) ) ( x. , F ) ` ( ( N + ( 1 - M ) ) + ( M - 1 ) ) ) = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )
133	127, 130, 132	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> prod_ j e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` j ) = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )
134	1, 133	syl5eqr 2670	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   [.wsbc 3435   [_csb 3533   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fprodfac  14703  iprodclim3  14731