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Theorem prmgaplem7 15761

Description: Lemma for prmgap 15763. (Contributed by AV, 12-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
prmgaplem7.n
prmgaplem7.f
prmgaplem7.i

**Assertion**
Ref	Expression
prmgaplem7	$/\$ $/\$ ..^

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem prmgaplem7 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgaplem7.f	. . . 4
2		elmapi 7879	. . . 4
3	1, 2	syl 17	. . 3
4		prmgaplem7.n	. . 3
5	3, 4	ffvelrnd 6360	. 2
6		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
7		elnnuz 11724	. . . . . . 7
8	6, 7	sylib 208	. . . . . 6 $/\$
9		1z 11407	. . . . . . 7
10		2z 11409	. . . . . . 7
11	9, 10	eluzaddi 11714	. . . . . 6
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 $/\$
13		1p2e3 11152	. . . . . . 7
14	13	eqcomi 2631	. . . . . 6
15	14	fveq2i 6194	. . . . 5
16	12, 15	syl6eleqr 2712	. . . 4 $/\$
17		prmgaplem5 15759	. . . 4 $/\$ ..^
18	16, 17	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$ ..^
19	4	anim1i 592	. . . . . 6 $/\$ $/\$
20	19	ancomd 467	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		nnaddcl 11042	. . . . 5 $/\$
22	20, 21	syl 17	. . . 4 $/\$
23		prmgaplem6 15760	. . . 4 $/\$ ..^
24	22, 23	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$ ..^
25		reeanv 3107	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
26		simprll 802	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
27		simprrl 804	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
28		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
30	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
31	29, 30	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
33	32	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
34	33	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $/\$
35		fzospliti 12500	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^ $\/$ ..^
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $\/$ ..^
37	36	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $\/$ ..^
38		neleq1 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39	38	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
40	39	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$ ..^
41	40	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
42	41	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
43	22	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
44	43	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
47	46	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $/\$
48		fzospliti 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ ..^ $\/$ ..^
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $\/$ ..^
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $\/$ ..^
51		prmgaplem7.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52	4	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
54		fzshftral 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
55	30, 53, 29, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
56		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
57		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
58		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
59	56, 57, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
60	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
61		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
62	60, 57, 61	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
63	59, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
64		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
65		sbcbr2g 4710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
66	64, 65	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
67		csbov12g 6689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
68	64, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
69		csbov2g 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
70	64, 69	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
71		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
73	64, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
74	70, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
75	64, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
76	74, 75	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
77	68, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
78	77	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
79	66, 78	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
80	63, 79	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
81		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
82	81	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
83	43, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ ..^
84	83	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ ..^
85	84	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ ..^
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
88	87, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
89	88	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
90	89	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
91	85, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ ..^
92	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
93		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
94	93	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
95		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
96	92, 94, 95	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^
98	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^
99		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
100	93, 29, 99	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^
101		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
102	98, 100, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^
103	97, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ ..^
104	103	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ ..^
105		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^ $/\$ $/\$
106		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
107		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
109		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
111		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$
113		ltaddpos 10518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$
114	110, 112, 113	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
115	108, 114	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$
116	111	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
117	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
118	111, 117	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
119	118	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
120		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
122		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$ $/\$
123	116, 119, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $/\$
124	115, 123	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$
125	124	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
126	125	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$
127	106, 126	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
128	127	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
129	105, 128	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^ $/\$
130	129	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^
131	93	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
132		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
133	112, 131, 132	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^
134	130, 133	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^
135		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
136	100, 134, 135	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ ..^
137	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$
138		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
139	138	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$
140	116, 137, 139, 108	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$
141		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$
142		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 119, 121, 142	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
145	144	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$
146	145	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$
147	106, 146	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
148	147	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
149	105, 148	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ $/\$
150	149	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^
151		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
152	98, 150, 151	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ ..^
153	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^
155		ltsubpos 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
156	112, 131, 155	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^
157	154, 156	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ ..^
158		ncoprmlnprm 15436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
159	136, 152, 157, 158	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ ..^
160	104, 159	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ ..^
161	91, 160	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ ..^
162	161	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ ..^
163	162	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ ..^
164	80, 163	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ ..^
165	55, 164	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ ..^
166	165	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
167	51, 166	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
168	167	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ ..^
169	168	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
170	169	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	170	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
172	171	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
173		neleq1 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
174	173	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
175	174	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ ..^
176	175	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
177	176	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
178	172, 177	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $\/$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
179	178	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $\/$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
180	50, 179	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
181	42, 180	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ $\/$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
182	181	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $\/$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
183	37, 182	syld 47	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
184	183	com23 86	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^
185	184	imp31 448	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
186	185	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^
187	26, 27, 186	3jca 1242	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
188	187	ex 450	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
189	188	reximdva 3017	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
190	189	reximdva 3017	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
191	25, 190	syl5bir 233	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
192	18, 24, 191	mp2and 715	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
193	5, 192	mpdan 702	1 $/\$ $/\$ ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wnel 2897

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wsbc 3435

csb 3533 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cgcd 15216

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: prmgaplem8 15762

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