Theorem fzsplit3 29553

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit3	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12342	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 11482	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
3		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
4	3	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. RR )
5		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. RR )
6	4, 5	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. RR )
7		lelttric 10144	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ ( K - 1 ) e. RR ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
8	2, 6, 7	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
9		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
10		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. ZZ )
11	3, 10	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
12		elfz5 12334	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
14		elfzuz3 12339	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16		elfzuzb 12336	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( K ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
17	16	rbaib 947	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
19		eluz 11701	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
20	3, 1, 19	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
21		zlem1lt 11429	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
22	3, 1, 21	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
23	18, 20, 22	3bitrd 294	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> ( K - 1 ) < x ) )
24	13, 23	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) <-> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) ) )
25	8, 24	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
26		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
27	26	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
28		elfzuz3 12339	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
30		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
32		peano2uz 11741	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
34	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. CC )
35	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. CC )
36	34, 35	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
39	33, 38	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
40		uztrn 11704	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
41	29, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
42		elfzuzb 12336	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
43	27, 41, 42	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
44		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
45		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
46		uztrn 11704	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
47	44, 45, 46	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
48		elfzuz3 12339	. . . . . . 7 |- ( x e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
49	48	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
50	47, 49, 42	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
51	43, 50	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
52	25, 51	impbida 877	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) )
53		elun 3753	. . 3 |- ( x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
54	52, 53	syl6bbr 278	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) ) )
55	54	eqrdv 2620	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  30590