Theorem bcm1n 29554

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1n	|- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Proof of Theorem bcm1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 13103	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) )
2		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
5		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 10396	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( N _C K ) )
8	6	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) = ( N - K ) )
9	6, 8	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
12	1, 11	syl5ib 234	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
13	12	3impia 1261	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
14	13	3anidm13 1384	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
15		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. NN0 )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. NN0 )
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
18	17	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
19		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. ZZ )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
21	20	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. RR )
22	2	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
24		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ ( N - 1 ) )
26		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
27	19, 2, 26	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
28	25, 27	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < N )
29	21, 23, 28	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ N )
30		elfz2nn0 12431	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ( 0 ... N ) )
32		bcrpcl 13095	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
34	33	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. CC )
35	19	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. CC )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. CC )
37	4, 36	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) e. CC )
38	36, 4	negsubdi2d 10408	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) = ( N - K ) )
39	21, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. CC )
41	4	addid2d 10237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 0 + N ) = N )
42	28, 41	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < ( 0 + N ) )
43		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 0 e. RR )
44	21, 23, 43	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( K - N ) < 0 <-> K < ( 0 + N ) ) )
45	42, 44	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) < 0 )
46	45	lt0ne0d 10593	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) =/= 0 )
47	40, 46	negne0d 10390	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) =/= 0 )
48	38, 47	eqnetrrd 2862	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) =/= 0 )
49	4, 37, 48	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N / ( N - K ) ) e. CC )
50		bcrpcl 13095	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
52	51	rpcnne0d 11881	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) _C K ) =/= 0 ) )
53		divmul2 10689	. . . . 5 |- ( ( ( N _C K ) e. CC /\ ( N / ( N - K ) ) e. CC /\ ( ( ( N - 1 ) _C K ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) _C K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
54	34, 49, 52, 53	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
55	14, 54	mpbird 247	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
56	55	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) )
57	51	rpcnd 11874	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. CC )
58		bccl2 13110	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. NN )
59	31, 58	syl 17	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. NN )
60	59	nnne0d 11065	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) =/= 0 )
61		bccl2 13110	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. NN )
62	61	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) =/= 0 )
63	62	adantr 481	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) =/= 0 )
64	34, 57, 60, 63	recdivd 10818	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) )
65	17	nnne0d 11065	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
66	4, 37, 65, 48	recdivd 10818	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) = ( ( N - K ) / N ) )
67	56, 64, 66	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   _C cbc 13089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090

This theorem is referenced by:  ballotlem2  30550