Theorem elfz5 12334

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
2		eluzel2 11692	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 554	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		elfz 12332	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	3, 5	sylan 488	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		eluzle 11700	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
8	7	biantrurd 529	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	8	adantr 481	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
10	6, 9	bitr4d 271	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzsplit2  12366  fznn0sub2  12446  predfz  12464  bcval5  13105  hashf1  13241  seqcoll  13248  limsupgre  14212  isercolllem2  14396  isercoll  14398  fsumcvg3  14460  fsum0diaglem  14508  climcndslem2  14582  mertenslem1  14616  ncoprmlnprm  15436  pcfac  15603  prmreclem2  15621  prmreclem3  15622  prmreclem5  15624  1arith  15631  vdwlem1  15685  vdwlem3  15687  vdwlem10  15694  sylow1lem1  18013  psrbaglefi  19372  ovoliunlem1  23270  ovolicc2lem4  23288  uniioombllem3  23353  mbfi1fseqlem3  23484  iblcnlem1  23554  plyeq0lem  23966  coeeulem  23980  coeidlem  23993  coeid3  23996  coeeq2  23998  coemulhi  24010  vieta1lem2  24066  birthdaylem2  24679  birthdaylem3  24680  ftalem5  24803  basellem2  24808  basellem3  24809  basellem5  24811  musum  24917  fsumvma2  24939  chpchtsum  24944  lgsne0  25060  lgsquadlem2  25106  rplogsumlem2  25174  dchrisumlem1  25178  dchrisum0lem1  25205  ostth2lem3  25324  eupth2lems  27098  fzsplit3  29553  eulerpartlems  30422  eulerpartlemb  30430  erdszelem7  31179  cvmliftlem7  31273