Theorem ballotlemfrceq 30590

Description: Value of F for a reverse counting ( R ` C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
ballotlemg	|- .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfrceq	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   v, u, C   u, I, v   u, J, v   u, R, v   u, S, v   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, v, u, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x, v, u)   .^ ( x, v, u, i, k, c)   F( x, v, u)   I( x)   J( x, c)   M( x, v, u)   N( x, v, u)   O( x, v, u)

Proof of Theorem ballotlemfrceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . . 9 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
8		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsel1i 30574	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
11		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 30563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
14	13	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
15		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
18		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
19	14, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
21	19, 20	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsdom 30573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23	21, 22	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
24		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
26		fzsubel 12377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
27	11, 16, 25, 11, 26	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
28	10, 27	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
29		1m1e0 11089	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
30	29	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) )
31	28, 30	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
32	12	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
33	32, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
34		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
35	33, 34	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
36		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
37	1, 2, 36	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( M + N ) e. NN
38	37	nnzi 11401	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. ZZ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
40		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
41	32, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
42		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
43	33, 39, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
44	35	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
45	39	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
46		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
48	43, 47	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
49	41, 48	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
50		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
51	35, 39, 49, 50	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
52		fzss2 12381	. . . . . . . 8 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
54	53	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
55	31, 54	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
56		ballotth.r	. . . . . 6 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
57		ballotlemg	. . . . . 6 |- .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57	ballotlemfg 30587	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
59	55, 58	syldan 487	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57	ballotlemfrc 30588	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
61	59, 60	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
62		fzsplit3 29553	. . . . . 6 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
63	10, 62	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
64	63	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
65		1eluzge0 11732	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
66		fzss1 12380	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
68	67	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
69	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57	ballotlemfg 30587	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
70	68, 69	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
71	14, 70	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
72	13	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
73	71, 72	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = 0 )
74		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
75		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
76	1, 2, 3	ballotlemelo 30549	. . . . . . . . 9 |- ( C e. O <-> ( C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` C ) = M ) )
77	76	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( C e. O -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
78	75, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
79		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> C e. Fin )
80	74, 78, 79	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. Fin )
81	80	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. Fin )
82		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. Fin )
83		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) e. Fin )
84	25	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
85		ltm1 10863	. . . . . 6 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. RR -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) )
86		fzdisj 12368	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
88	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57, 81, 82, 83, 87	ballotlemgun 30586	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
89	64, 73, 88	3eqtr3rd 2665	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = 0 )
90	61, 89	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 )
91	75	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. O )
92	25, 11	zsubcld 11487	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
93	1, 2, 3, 4, 5, 91, 92	ballotlemfelz 30552	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. ZZ )
94	93	zcnd 11483	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC )
95	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56	ballotlemro 30584	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
96	95	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
97		elfzelz 12342	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
98	20, 97	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
99	1, 2, 3, 4, 5, 96, 98	ballotlemfelz 30552	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
100	99	zcnd 11483	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
101		addeq0 29510	. . 3 |- ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
102	94, 100, 101	syl2anc 693	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
103	90, 102	mpbid 222	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlemfrcn0  30591