Theorem lactghmga 17824

Description: The converse of galactghm 17823. The uncurrying of a homomorphism into ( SymGrp ` Y ) is a group action. Thus, group actions and group homomorphisms into a symmetric group are essentially equivalent notions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lactghmga.x	|- X = ( Base ` G )
lactghmga.h	|- H = ( SymGrp ` Y )
lactghmga.f	|- .(+) = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( F ` x ) ` y ) )

Assertion

Ref	Expression
lactghmga	|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   .(+) ( x, y)

Proof of Theorem lactghmga

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 17662	. . 3 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> G e. Grp )
2		ghmgrp2 17663	. . . 4 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> H e. Grp )
3		grpn0 17454	. . . 4 |- ( H e. Grp -> H =/= (/) )
4		lactghmga.h	. . . . . 6 |- H = ( SymGrp ` Y )
5		fvprc 6185	. . . . . 6 |- ( -. Y e. _V -> ( SymGrp ` Y ) = (/) )
6	4, 5	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. Y e. _V -> H = (/) )
7	6	necon1ai 2821	. . . 4 |- ( H =/= (/) -> Y e. _V )
8	2, 3, 7	3syl 18	. . 3 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> Y e. _V )
9	1, 8	jca 554	. 2 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( G e. Grp /\ Y e. _V ) )
10		lactghmga.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( Base ` G )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
12	10, 11	ghmf 17664	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` H ) )
14	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> Y e. _V )
15	4, 11	elsymgbas 17802	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. _V -> ( ( F ` x ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
17	13, 16	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y )
18		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y -> ( F ` x ) : Y --> Y )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : Y --> Y )
20	19	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` x ) ` y ) e. Y )
21	20	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> A. y e. Y ( ( F ` x ) ` y ) e. Y )
22	21	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> A. x e. X A. y e. Y ( ( F ` x ) ` y ) e. Y )
23		lactghmga.f	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( F ` x ) ` y ) )
24	23	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. Y ( ( F ` x ) ` y ) e. Y <-> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
25	22, 24	sylib 208	. . 3 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
26		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
27	10, 26	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( 0g ` G ) e. X )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( 0g ` G ) ) )
30	29	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` y ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` y ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) )
32		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) e. _V
33	30, 31, 23, 32	ovmpt2 6796	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) )
34	28, 33	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
36	26, 35	ghmid 17666	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
38	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> Y e. _V )
39	4	symgid 17821	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. _V -> ( _I |` Y ) = ( 0g ` H ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( _I |` Y ) = ( 0g ` H ) )
41	37, 40	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( _I |` Y ) )
42	41	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) = ( ( _I |` Y ) ` z ) )
43		fvresi 6439	. . . . . . 7 |- ( z e. Y -> ( ( _I |` Y ) ` z ) = z )
44	43	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( _I |` Y ) ` z ) = z )
45	34, 42, 44	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z )
46	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
47		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> v e. X )
48	46, 47	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` v ) e. ( Base ` H ) )
49	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> Y e. _V )
50	4, 11	elsymgbas 17802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( ( F ` v ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` v ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
52	48, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y )
53		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y -> ( F ` v ) : Y --> Y )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` v ) : Y --> Y )
55		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> z e. Y )
56		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` v ) : Y --> Y /\ z e. Y ) -> ( ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ` z ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ` z ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) )
58		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> F e. ( G GrpHom H ) )
59		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> u e. X )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
62	10, 60, 61	ghmlin 17665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) = ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) )
63	58, 59, 47, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) = ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) )
64	46, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` H ) )
65	4, 11, 61	symgov 17810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` u ) e. ( Base ` H ) /\ ( F ` v ) e. ( Base ` H ) ) -> ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) )
66	64, 48, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) )
67	63, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) = ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) )
68	67	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) = ( ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ` z ) )
69	54, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` v ) ` z ) e. Y )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
71	70	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` u ) ` y ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( F ` v ) ` z ) -> ( ( F ` u ) ` y ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) )
73		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) e. _V
74	71, 72, 23, 73	ovmpt2 6796	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. X /\ ( ( F ` v ) ` z ) e. Y ) -> ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) )
75	59, 69, 74	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) )
76	57, 68, 75	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) = ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) )
77	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> G e. Grp )
78	10, 60	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X )
79	77, 59, 47, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u ( +g ` G ) v ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) )
81	80	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( u ( +g ` G ) v ) -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` y ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` y ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) )
83		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) e. _V
84	81, 82, 23, 83	ovmpt2 6796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u ( +g ` G ) v ) e. X /\ z e. Y ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) )
85	79, 55, 84	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
87	86	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` v ) ` y ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( F ` v ) ` y ) = ( ( F ` v ) ` z ) )
89		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) ` z ) e. _V
90	87, 88, 23, 89	ovmpt2 6796	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. X /\ z e. Y ) -> ( v .(+) z ) = ( ( F ` v ) ` z ) )
91	47, 55, 90	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( v .(+) z ) = ( ( F ` v ) ` z ) )
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u .(+) ( v .(+) z ) ) = ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) )
93	76, 85, 92	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) )
94	93	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) )
95	45, 94	jca 554	. . . 4 |- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> A. z e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) )
97	25, 96	jca 554	. 2 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. z e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) ) )
98	10, 60, 26	isga 17724	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) <-> ( ( G e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. z e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) ) ) )
99	9, 97, 98	sylanbrc 698	1 |- ( F e. ( G GrpHom H ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   GrpAct cga 17722   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgga  17826