Theorem gbegt5 41649

Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbegt5	|- ( Z e. GoldbachEven -> 5 < Z )

Proof of Theorem gbegt5

Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 41639	. 2 |- ( Z e. GoldbachEven <-> ( Z e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) ) )
2		oddprmuzge3 41625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ p e. Odd ) -> p e. ( ZZ>= ` 3 ) )
3	2	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. Odd /\ p e. Prime ) -> p e. ( ZZ>= ` 3 ) )
4		oddprmuzge3 41625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ q e. Odd ) -> q e. ( ZZ>= ` 3 ) )
5	4	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. Odd /\ q e. Prime ) -> q e. ( ZZ>= ` 3 ) )
6		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 3 <_ p ) )
7		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 3 <_ q ) )
8		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( q e. ZZ -> q e. RR )
9		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. ZZ -> p e. RR )
10		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 3 e. RR
11	10, 10	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 3 e. RR /\ 3 e. RR )
12		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( p e. RR /\ q e. RR ) )
13		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 3 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) -> ( ( 3 <_ p /\ 3 <_ q ) -> ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) ) )
14	11, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( ( 3 <_ p /\ 3 <_ q ) -> ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) ) )
15	14	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( ( 3 <_ q /\ 3 <_ p ) -> ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) ) )
16		3p3e6 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 3 + 3 ) = 6
17	16	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) <-> 6 <_ ( p + q ) )
18		5lt6 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 5 < 6
19		5re 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 5 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> 5 e. RR )
21		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 6 e. RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> 6 e. RR )
23		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( p e. RR /\ q e. RR ) -> ( p + q ) e. RR )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( p + q ) e. RR )
25		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 5 e. RR /\ 6 e. RR /\ ( p + q ) e. RR ) -> ( ( 5 < 6 /\ 6 <_ ( p + q ) ) -> 5 < ( p + q ) ) )
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( ( 5 < 6 /\ 6 <_ ( p + q ) ) -> 5 < ( p + q ) ) )
27	18, 26	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( 6 <_ ( p + q ) -> 5 < ( p + q ) ) )
28	17, 27	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) -> 5 < ( p + q ) ) )
29	15, 28	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( q e. RR /\ p e. RR ) -> ( ( 3 <_ q /\ 3 <_ p ) -> 5 < ( p + q ) ) )
30	8, 9, 29	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( q e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( ( 3 <_ q /\ 3 <_ p ) -> 5 < ( p + q ) ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ZZ -> ( p e. ZZ -> ( ( 3 <_ q /\ 3 <_ p ) -> 5 < ( p + q ) ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( p e. ZZ -> ( ( 3 <_ q /\ 3 <_ p ) -> 5 < ( p + q ) ) ) )
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 3 <_ q /\ 3 <_ p ) -> ( p e. ZZ -> 5 < ( p + q ) ) ) )
34	33	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 e. ZZ -> ( q e. ZZ -> ( 3 <_ q -> ( 3 <_ p -> ( p e. ZZ -> 5 < ( p + q ) ) ) ) ) )
35	34	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 3 <_ q ) -> ( 3 <_ p -> ( p e. ZZ -> 5 < ( p + q ) ) ) )
36	35	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ZZ -> ( 3 <_ p -> ( ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 3 <_ q ) -> 5 < ( p + q ) ) ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ZZ /\ 3 <_ p ) -> ( ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 3 <_ q ) -> 5 < ( p + q ) ) )
38	37	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 3 <_ p ) -> ( ( 3 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 3 <_ q ) -> 5 < ( p + q ) ) )
39	7, 38	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 3 <_ p ) -> ( q e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 5 < ( p + q ) ) )
40	6, 39	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( q e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 5 < ( p + q ) ) )
41	40	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 5 < ( p + q ) )
42	3, 5, 41	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. Odd /\ p e. Prime ) /\ ( q e. Odd /\ q e. Prime ) ) -> 5 < ( p + q ) )
43	42	an4s 869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. Odd /\ q e. Odd ) /\ ( p e. Prime /\ q e. Prime ) ) -> 5 < ( p + q ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Odd /\ q e. Odd ) -> ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> 5 < ( p + q ) ) )
45	44	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) -> ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> 5 < ( p + q ) ) )
46	45	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) ) -> 5 < ( p + q ) )
47		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( Z = ( p + q ) -> ( 5 < Z <-> 5 < ( p + q ) ) )
48	47	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) -> ( 5 < Z <-> 5 < ( p + q ) ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) ) -> ( 5 < Z <-> 5 < ( p + q ) ) )
50	46, 49	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) ) -> 5 < Z )
51	50	ex 450	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) -> 5 < Z ) )
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( Z e. Even -> ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) -> 5 < Z ) ) )
53	52	rexlimdvv 3037	. . 3 |- ( Z e. Even -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) -> 5 < Z ) )
54	53	imp 445	. 2 |- ( ( Z e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ Z = ( p + q ) ) ) -> 5 < Z )
55	1, 54	sylbi 207	1 |- ( Z e. GoldbachEven -> 5 < Z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   3c3 11071   5c5 11073   6c6 11074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Primecprime 15385   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachEven cgbe 41633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636

This theorem is referenced by:  gbege6  41653