Theorem gbowgt5 41650

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowgt5	|- ( Z e. GoldbachOddW -> 5 < Z )

Proof of Theorem gbowgt5

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 41640	. 2 |- ( Z e. GoldbachOddW <-> ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) ) )
2		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) )
5		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( q e. Prime -> ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) )
8	4, 7	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) )
9		prmuz2 15408	. . . . . . . 8 |- ( r e. Prime -> r e. ( ZZ>= ` 2 ) )
10		eluz2 11693	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) )
11	9, 10	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( r e. Prime -> ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) )
12		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ZZ -> p e. RR )
13	12	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) -> p e. RR )
14		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ZZ -> q e. RR )
15	14	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> q e. RR )
16	13, 15	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( p e. RR /\ q e. RR ) )
17		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
18	17, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 2 e. RR )
19	16, 18	jctil 560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( ( 2 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) )
20		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) -> 2 <_ p )
21		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> 2 <_ q )
22	20, 21	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( 2 <_ p /\ 2 <_ q ) )
23		le2add 10510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) -> ( ( 2 <_ p /\ 2 <_ q ) -> ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) ) )
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) )
25		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 + 2 ) = 4
26	25	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) <-> 4 <_ ( p + q ) )
27		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( p + q ) e. ZZ )
28	27	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( p + q ) e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) -> ( p + q ) e. RR )
30		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( r e. ZZ -> r e. RR )
31	30	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> r e. RR )
32	29, 31	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) )
33		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 4 e. RR
34	33, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 e. RR /\ 2 e. RR )
35	32, 34	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( ( 4 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) -> 4 <_ ( p + q ) )
37		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 2 <_ r )
38	36, 37	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( 4 <_ ( p + q ) /\ 2 <_ r ) )
39		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 4 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) -> ( ( 4 <_ ( p + q ) /\ 2 <_ r ) -> ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) ) )
40	35, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) )
41		4p2e6 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 4 + 2 ) = 6
42	41	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) <-> 6 <_ ( ( p + q ) + r ) )
43		5lt6 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 5 < 6
44		5re 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 5 e. RR
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> 5 e. RR )
46		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 6 e. RR
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> 6 e. RR )
48	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( p + q ) e. ZZ )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> r e. ZZ )
50	48, 49	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( p + q ) + r ) e. ZZ )
51	50	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( p + q ) + r ) e. RR )
52		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 5 e. RR /\ 6 e. RR /\ ( ( p + q ) + r ) e. RR ) -> ( ( 5 < 6 /\ 6 <_ ( ( p + q ) + r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
53	45, 47, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( 5 < 6 /\ 6 <_ ( ( p + q ) + r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
54	43, 53	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( 6 <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
55	42, 54	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
56	55	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( r e. ZZ -> ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
60	59	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) )
62	61	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( 4 <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
63	26, 62	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
64	63	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ZZ -> ( p e. ZZ -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) )
65	64	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> ( p e. ZZ -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) )
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ZZ -> ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) )
67	66	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) )
68	67	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) )
69	24, 68	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
70	69	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) )
71		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> ( 5 < Z <-> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) )
72	70, 71	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) )
73	8, 11, 72	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ r e. Prime ) -> ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) )
74	73	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) )
75	74	adantl 482	. . . 4 |- ( ( Z e. Odd /\ ( p e. Prime /\ q e. Prime ) ) -> ( E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) )
76	75	rexlimdvva 3038	. . 3 |- ( Z e. Odd -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) )
77	76	imp 445	. 2 |- ( ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> 5 < Z )
78	1, 77	sylbi 207	1 |- ( Z e. GoldbachOddW -> 5 < Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Primecprime 15385   Odd codd 41538   GoldbachOddW cgbow 41634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-gbow 41637

This theorem is referenced by:  gbowge7  41651