Theorem gcdcllem1 15221

Description: Lemma for gcdn0cl 15224, gcddvds 15225 and dvdslegcd 15226. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
gcdcllem1.1	|- S = { z e. ZZ | A. n e. A z || n }

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem1	|- ( ( A C_ ZZ /\ E. n e. A n =/= 0 ) -> ( S =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) )

Distinct variable groups:   A, n, x, y, z   x, S

Allowed substitution hints:   S( y, z, n)

Proof of Theorem gcdcllem1

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		ssel 3597	. . . . . . 7 |- ( A C_ ZZ -> ( n e. A -> n e. ZZ ) )
3		1dvds 14996	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> 1 || n )
4	2, 3	syl6 35	. . . . . 6 |- ( A C_ ZZ -> ( n e. A -> 1 || n ) )
5	4	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> A. n e. A 1 || n )
6		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z || n <-> 1 || n ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( A. n e. A z || n <-> A. n e. A 1 || n ) )
8		gcdcllem1.1	. . . . . . 7 |- S = { z e. ZZ | A. n e. A z || n }
9	7, 8	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( 1 e. S <-> ( 1 e. ZZ /\ A. n e. A 1 || n ) )
10	9	biimpri 218	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ A. n e. A 1 || n ) -> 1 e. S )
11	1, 5, 10	sylancr 695	. . . 4 |- ( A C_ ZZ -> 1 e. S )
12		ne0i 3921	. . . 4 |- ( 1 e. S -> S =/= (/) )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( A C_ ZZ -> S =/= (/) )
14	13	adantr 481	. 2 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. n e. A n =/= 0 ) -> S =/= (/) )
15		neeq1 2856	. . . 4 |- ( n = w -> ( n =/= 0 <-> w =/= 0 ) )
16	15	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. n e. A n =/= 0 <-> E. w e. A w =/= 0 )
17		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( z || n <-> y || n ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( A. n e. A z || n <-> A. n e. A y || n ) )
19	18, 8	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S <-> ( y e. ZZ /\ A. n e. A y || n ) )
20	19	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> A. n e. A y || n )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ZZ /\ y e. S ) -> A. n e. A y || n )
22	19	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
23		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ ZZ /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
24		dvdsleabs 15033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ n e. ZZ /\ n =/= 0 ) -> ( y || n -> y <_ ( abs ` n ) ) )
25	24	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( n =/= 0 -> ( y || n -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
26	23, 25	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ ( A C_ ZZ /\ n e. A ) ) -> ( n =/= 0 -> ( y || n -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
27	26	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. ZZ /\ A C_ ZZ ) /\ n e. A ) -> ( n =/= 0 -> ( y || n -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
28	27	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ZZ /\ A C_ ZZ ) /\ n e. A ) -> ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ A C_ ZZ ) -> A. n e. A ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
30	29	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ZZ /\ y e. ZZ ) -> A. n e. A ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
31	22, 30	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ZZ /\ y e. S ) -> A. n e. A ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) )
32		r19.26 3064	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. A ( y || n /\ ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) ) <-> ( A. n e. A y || n /\ A. n e. A ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) ) )
33		pm3.35 611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y || n /\ ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) ) -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) )
34	33	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. A ( y || n /\ ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) ) -> A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) )
35	32, 34	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. A y || n /\ A. n e. A ( y || n -> ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) ) ) -> A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) )
36	21, 31, 35	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ZZ /\ y e. S ) -> A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( A C_ ZZ -> A. y e. S A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = w -> ( abs ` n ) = ( abs ` w ) )
39	38	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = w -> ( y <_ ( abs ` n ) <-> y <_ ( abs ` w ) ) )
40	15, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( n = w -> ( ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) <-> ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) ) )
41	40	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) <-> A. w e. A ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) )
42	41	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. S A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) <-> A. y e. S A. w e. A ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) )
43		ralcom 3098	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. S A. w e. A ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) <-> A. w e. A A. y e. S ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) )
44		r19.21v 2960	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. S ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) <-> ( w =/= 0 -> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) )
45	44	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. y e. S ( w =/= 0 -> y <_ ( abs ` w ) ) <-> A. w e. A ( w =/= 0 -> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) )
46	42, 43, 45	3bitri 286	. . . . . . 7 |- ( A. y e. S A. n e. A ( n =/= 0 -> y <_ ( abs ` n ) ) <-> A. w e. A ( w =/= 0 -> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) )
47	37, 46	sylib 208	. . . . . 6 |- ( A C_ ZZ -> A. w e. A ( w =/= 0 -> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) )
48		ssel2 3598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ ZZ /\ w e. A ) -> w e. ZZ )
49		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ZZ -> ( abs ` w ) e. NN0 )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ ZZ /\ w e. A ) -> ( abs ` w ) e. NN0 )
51	50	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ZZ /\ w e. A ) -> ( abs ` w ) e. ZZ )
52		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( abs ` w ) -> ( y <_ x <-> y <_ ( abs ` w ) ) )
53	52	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( abs ` w ) -> ( A. y e. S y <_ x <-> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ w e. A ) /\ x = ( abs ` w ) ) -> ( A. y e. S y <_ x <-> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) )
55	51, 54	rspcedv 3313	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ZZ /\ w e. A ) -> ( A. y e. S y <_ ( abs ` w ) -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) )
56	55	imim2d 57	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ZZ /\ w e. A ) -> ( ( w =/= 0 -> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) -> ( w =/= 0 -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) ) )
57	56	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( A C_ ZZ -> ( A. w e. A ( w =/= 0 -> A. y e. S y <_ ( abs ` w ) ) -> A. w e. A ( w =/= 0 -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) ) )
58	47, 57	mpd 15	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> A. w e. A ( w =/= 0 -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) )
59		r19.23v 3023	. . . . 5 |- ( A. w e. A ( w =/= 0 -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) <-> ( E. w e. A w =/= 0 -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) )
60	58, 59	sylib 208	. . . 4 |- ( A C_ ZZ -> ( E. w e. A w =/= 0 -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) )
61	60	imp 445	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. w e. A w =/= 0 ) -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x )
62	16, 61	sylan2b 492	. 2 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. n e. A n =/= 0 ) -> E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x )
63	14, 62	jca 554	1 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. n e. A n =/= 0 ) -> ( S =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. S y <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   abscabs 13974   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  15223