Theorem gcdn0cl 15224

Description: Closure of the gcd operator. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdn0cl	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( M gcd N ) e. NN )

Proof of Theorem gcdn0cl

Dummy variables n K z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdn0val 15220	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( M gcd N ) = sup ( { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } , RR , < ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- { n e. ZZ | A. z e. { M , N } n || z } = { n e. ZZ | A. z e. { M , N } n || z }
3		eqid 2622	. . . 4 |- { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } = { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) }
4	2, 3	gcdcllem3 15223	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( sup ( { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } , RR , < ) e. NN /\ ( sup ( { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } , RR , < ) || M /\ sup ( { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } , RR , < ) || N ) /\ ( ( K e. ZZ /\ K || M /\ K || N ) -> K <_ sup ( { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } , RR , < ) ) ) )
5	4	simp1d 1073	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 /\ N = 0 ) ) -> sup ( { n e. ZZ | ( n || M /\ n || N ) } , RR , < ) e. NN )
6	1, 5	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( M gcd N ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  gcdcl  15228  gcdnncl  15229  gcd2n0cl  15231  divgcdnn  15236  gcdeq0  15238  gcd1  15249  sqgcd  15278  bezoutr1  15282  3lcm2e6woprm  15328  6lcm4e12  15329  qredeu  15372  rpdvds  15374  coprm  15423  rpexp  15432  divnumden  15456  divdenle  15457  phimullem  15484  phisum  15495  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem8  15528  pythagtriplem9  15529  pythagtriplem19  15538  pcgcd1  15581  pc2dvds  15583  pockthlem  15609  ablfacrplem  18464  znrrg  19914  dvdsmulf1o  24920  dchrelbas4  24968  lgsne0  25060  2sqlem8a  25150  2sqlem8  25151  2sqcoprm  29647  divgcdoddALTV  41593