Theorem grpsubval 17465

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. 2 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
2		fveq2 6191	. . 3 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
3	2	oveq2d 6666	. 2 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
4		grpsubval.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . 3 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 17464	. 2 |- .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) )
9		ovex 6678	. 2 |- ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6796	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   invgcminusg 17423   -gcsg 17424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-sbg 17427

This theorem is referenced by:  grpsubinv  17488  grpsubrcan  17496  grpinvsub  17497  grpinvval2  17498  grpsubid  17499  grpsubid1  17500  grpsubeq0  17501  grpsubadd0sub  17502  grpsubadd  17503  grpsubsub  17504  grpaddsubass  17505  grpnpcan  17507  pwssub  17529  mulgsubdir  17582  subgsubcl  17605  subgsub  17606  issubg4  17613  qussub  17654  ghmsub  17668  sylow2blem1  18035  lsmelvalm  18066  ablsub2inv  18216  ablsub4  18218  ablsubsub4  18224  mulgsubdi  18235  eqgabl  18240  gsumsub  18348  dprdfsub  18420  ringsubdi  18599  rngsubdir  18600  abvsubtri  18835  lmodvsubval2  18918  lmodsubdir  18921  lspsntrim  19098  cnfldsub  19774  m2detleiblem7  20433  chpscmatgsumbin  20649  tgpconncomp  21916  tsmssub  21952  tsmsxplem1  21956  isngp4  22416  ngpsubcan  22418  ngptgp  22440  tngngp3  22460  clmpm1dir  22903  cphipval  23042  deg1suble  23867  deg1sub  23868  dchr2sum  24998  ogrpsub  29717  archiabllem2c  29749  lflsub  34354  ldualvsubval  34444  lcdvsubval  36907  baerlem3lem1  36996  baerlem5alem1  36997  baerlem5amN  37005  baerlem5bmN  37006  baerlem5abmN  37007  hdmapsub  37139