Theorem tngngp3 22460

Description: Alternate definition of a normed group (i.e. a group equipped with a norm) without using the properties of a metric space. This corresponds to the definition in N. H. Bingham, A. J. Ostaszewski: "Normed versus topological groups: dichotomy and duality", 2010, Dissertationes Mathematicae 472, pp. 1-138 and E. Deza, M.M. Deza: "Dictionary of Distances", Elsevier, 2006. (Contributed by AV, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp3.t	|- T = ( G toNrmGrp N )
tngngp3.x	|- X = ( Base ` G )
tngngp3.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tngngp3.p	|- .+ = ( +g ` G )
tngngp3.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
tngngp3	|- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, G, y   x, N, y   x, T, y   x, X, y   x, I, y   x, .+ , y   x, .0. , y

Proof of Theorem tngngp3

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngp3.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` G ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 |- X e. _V
4		fex 6490	. . . 4 |- ( ( N : X --> RR /\ X e. _V ) -> N e. _V )
5	3, 4	mpan2 707	. . 3 |- ( N : X --> RR -> N e. _V )
6		tngngp3.t	. . . . . . 7 |- T = ( G toNrmGrp N )
7	6	tnggrpr 22459	. . . . . 6 |- ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) -> G e. Grp )
8		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> G e. Grp )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
12	9, 10, 11	nmeq0 22422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( invg ` T ) = ( invg ` T )
14	9, 10, 13	nminv 22425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
16	9, 10, 15	nmtri 22430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) /\ y e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
17	16	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) ) /\ y e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
18	17	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) ) -> A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
19	12, 14, 18	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) ) -> ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) )
20	19	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. NrmGrp -> A. x e. ( Base ` T ) ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) -> A. x e. ( Base ` T ) ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) )
22	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> A. x e. ( Base ` T ) ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) )
23	6, 1	tngbas 22445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. _V -> X = ( Base ` T ) )
24		tngngp3.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .+ = ( +g ` G )
25	6, 24	tngplusg 22446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. _V -> .+ = ( +g ` T ) )
26		tngngp3.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- I = ( invg ` G )
27		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. _V -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
29	6, 28	tngbas 22445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. _V -> ( Base ` G ) = ( Base ` T ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
31	6, 30	tngplusg 22446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. _V -> ( +g ` G ) = ( +g ` T ) )
32	31	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. _V -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. _V /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
34	27, 29, 33	grpinvpropd 17490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. _V -> ( invg ` G ) = ( invg ` T ) )
35	26, 34	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. _V -> I = ( invg ` T ) )
36	23, 25, 35	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. _V -> ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) -> ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) )
39		reex 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
40	6, 1, 39	tngnm 22455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> N = ( norm ` T ) )
41	40	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> N = ( norm ` T ) )
42		tngngp3.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. = ( 0g ` G )
43	6, 42	tng0 22447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. _V -> .0. = ( 0g ` T ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) -> .0. = ( 0g ` T ) )
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> .0. = ( 0g ` T ) )
46	38, 41, 45	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) )
47		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) -> X = ( Base ` T ) )
48	47	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> X = ( Base ` T ) )
49		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> N = ( norm ` T ) )
50	49	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( N ` x ) = ( ( norm ` T ) ` x ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( ( N ` x ) = 0 <-> ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 ) )
52		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> .0. = ( 0g ` T ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( x = .0. <-> x = ( 0g ` T ) ) )
54	51, 53	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) <-> ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) ) )
55		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) -> I = ( invg ` T ) )
56	55	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> I = ( invg ` T ) )
57	56	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( I ` x ) = ( ( invg ` T ) ` x ) )
58	49, 57	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( N ` ( I ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) )
59	58, 50	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) <-> ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) ) )
60		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) -> .+ = ( +g ` T ) )
61	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> .+ = ( +g ` T ) )
62	61	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
63	49, 62	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( N ` ( x .+ y ) ) = ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) )
64		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( norm ` T ) -> ( N ` x ) = ( ( norm ` T ) ` x ) )
65		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( norm ` T ) -> ( N ` y ) = ( ( norm ` T ) ` y ) )
66	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( norm ` T ) -> ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) = ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
67	66	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) = ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
68	63, 67	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) <-> ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) )
69	48, 68	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) )
70	54, 59, 69	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) <-> ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) ) )
71	48, 70	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X = ( Base ` T ) /\ .+ = ( +g ` T ) /\ I = ( invg ` T ) ) /\ N = ( norm ` T ) /\ .0. = ( 0g ` T ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` T ) ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) ) )
72	46, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` T ) ( ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) /\ ( ( norm ` T ) ` ( ( invg ` T ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` x ) /\ A. y e. ( Base ` T ) ( ( norm ` T ) ` ( x ( +g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) ) ) )
73	22, 72	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
74	8, 73	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) /\ G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) )
75	74	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) -> ( G e. Grp -> ( N : X --> RR -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) ) )
76	7, 75	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( N e. _V /\ T e. NrmGrp ) -> ( N : X --> RR -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )
77	76	expcom 451	. . . 4 |- ( T e. NrmGrp -> ( N e. _V -> ( N : X --> RR -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) ) )
78	77	com13 88	. . 3 |- ( N : X --> RR -> ( N e. _V -> ( T e. NrmGrp -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) ) )
79	5, 78	mpd 15	. 2 |- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )
80		eqid 2622	. . . 4 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
81		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) -> G e. Grp )
82	81	adantl 482	. . . 4 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> G e. Grp )
83		simpl 473	. . . 4 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> N : X --> RR )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( N ` x ) = ( N ` a ) )
85	84	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( N ` x ) = 0 <-> ( N ` a ) = 0 ) )
86		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( x = .0. <-> a = .0. ) )
87	85, 86	bibi12d 335	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) <-> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( I ` x ) = ( I ` a ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` ( I ` a ) ) )
90	89, 84	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) <-> ( N ` ( I ` a ) ) = ( N ` a ) ) )
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( x .+ y ) = ( a .+ y ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( N ` ( x .+ y ) ) = ( N ` ( a .+ y ) ) )
93	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) = ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) )
94	92, 93	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) <-> ( N ` ( a .+ y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) ) )
95	94	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) <-> A. y e. X ( N ` ( a .+ y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) ) )
96	87, 90, 95	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) <-> ( ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) /\ ( N ` ( I ` a ) ) = ( N ` a ) /\ A. y e. X ( N ` ( a .+ y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) ) ) )
97	96	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ a e. X ) -> ( ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) /\ ( N ` ( I ` a ) ) = ( N ` a ) /\ A. y e. X ( N ` ( a .+ y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) ) )
98		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) /\ ( N ` ( I ` a ) ) = ( N ` a ) /\ A. y e. X ( N ` ( a .+ y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) ) -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ a e. X ) -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) )
100	99	ex 450	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( a e. X -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) ) )
101	100	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) -> ( a e. X -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) ) )
102	101	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> ( a e. X -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) ) )
103	102	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ a e. X ) -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) )
104	1, 24, 26, 80	grpsubval 17465	. . . . . . 7 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( a ( -g ` G ) b ) = ( a .+ ( I ` b ) ) )
105	104	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a ( -g ` G ) b ) = ( a .+ ( I ` b ) ) )
106	105	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a ( -g ` G ) b ) ) = ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) )
107		3simpc 1060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
108	107	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
109		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
110	109	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
111		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( I ` b ) -> ( a .+ y ) = ( a .+ ( I ` b ) ) )
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( I ` b ) -> ( N ` ( a .+ y ) ) = ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) )
113		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( I ` b ) -> ( N ` y ) = ( N ` ( I ` b ) ) )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( I ` b ) -> ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) = ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) )
115	112, 114	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( I ` b ) -> ( ( N ` ( a .+ y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) <-> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) ) )
116	94, 115	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. X /\ ( I ` b ) e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) ) )
117	1, 26	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X ) -> ( I ` b ) e. X )
118	117	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G e. Grp -> ( b e. X -> ( I ` b ) e. X ) )
119	118	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. Grp -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( a e. X /\ ( I ` b ) e. X ) ) )
120	119	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a e. X /\ ( I ` b ) e. X ) )
121	116, 120	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) -> ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) ) )
122	121	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) -> ( G e. Grp -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) ) ) )
123	110, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( G e. Grp -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) ) ) )
124	123	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) ) )
125	124	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) )
126		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) )
127	126	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. x e. X ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) )
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( I ` x ) = ( I ` b ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = b -> ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` ( I ` b ) ) )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = b -> ( N ` x ) = ( N ` b ) )
131	129, 130	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = b -> ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) <-> ( N ` ( I ` b ) ) = ( N ` b ) ) )
132	131	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. x e. X ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ b e. X ) -> ( N ` ( I ` b ) ) = ( N ` b ) )
133	132	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. x e. X ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ b e. X ) -> ( N ` b ) = ( N ` ( I ` b ) ) )
134	133	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. X ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) -> ( b e. X -> ( N ` b ) = ( N ` ( I ` b ) ) ) )
135	127, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( b e. X -> ( N ` b ) = ( N ` ( I ` b ) ) ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) -> ( b e. X -> ( N ` b ) = ( N ` ( I ` b ) ) ) )
137	136	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` b ) = ( N ` ( I ` b ) ) ) )
138	137	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` b ) = ( N ` ( I ` b ) ) )
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) = ( ( N ` a ) + ( N ` ( I ` b ) ) ) )
140	125, 139	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
141	140	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) /\ G e. Grp ) -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) ) )
142	141	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X ( ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( G e. Grp -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) ) ) )
143	108, 142	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( G e. Grp -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) ) ) )
144	143	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) ) )
145	144	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) ) )
146	145	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a .+ ( I ` b ) ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
147	106, 146	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a ( -g ` G ) b ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
148	6, 1, 80, 42, 82, 83, 103, 147	tngngpd 22457	. . 3 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> T e. NrmGrp )
149	148	ex 450	. 2 |- ( N : X --> RR -> ( ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) -> T e. NrmGrp ) )
150	79, 149	impbid 202	1 |- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( N ` ( I ` x ) ) = ( N ` x ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   toNrmGrp ctng 22383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389

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